数论--素数

1.素数筛（线筛）：

时间复杂度为O(n),可以筛选出n以内的所有素数，共有tot个，prime[x]==true,则x是素数

筛选原理：

任意一个数乘以比它小的素数的结果都是合数

遇到最小质因子就跳出循环，保证每个合数被其最小质因子筛去

附上代码：

#include<cstdio>
const int N = 100000 + 5;
bool prime[N];//prime[i]表示i是不是质数
int p[N], tot=0;//p[N]用来存质数,tot为素数的个数
void init(int n){
    prime[1]=false;
    for(int i = 2; i <=n; i ++) prime[i] = true;//初始化为质数
    for(int i = 2; i <=n; i++){
        if(prime[i]) p[tot ++] = i;//把质数存起来
        for(int j = 0; j < tot && i * p[j] <=n; j++){
            prime[i * p[j]] = false;
            if(i % p[j] == 0) break;//保证每个合数被它最小的质因数筛去
        }
    }
}
int main(){
    init(11);
    for(int i=0;i<tot;i++)
    printf("%d
",p[i]);
    printf("tot=%d
",tot);
}

利用了每个合数必有一个最小素因子。每个合数仅被它的最小素因子筛去正好一次。所以为线性时间。

2.埃筛--------------埃拉托斯特尼筛法，或者叫埃氏筛法

原理：

任意一个素数的倍数都是合数

过程图解：

代码也很好写：

#include<cstdio>
const int N = 100000 + 5;
bool prime[N];
void init(){
    for(int i = 2; i <= N; i ++) prime[i] = true;
    for(int i = 2; i*i <= N; i ++){//判断改成i*i<N 
        if(prime[i]){
            for(int j = i*i; j <= N; j += i){//从i*i开始就可以了 
                prime[j] = false;  
            }
        }
    }
}
int main(){
    init();
}

时间复杂度为O(n*loglog n),因为loglog n非常小，基本上和线筛无区别，较常用

（还有个规律，除了2，3，其他的素数一定在6的倍数的旁边，ji

基于埃筛的原理，我们可以用它干很多事

3.预处理每个数的所有质因数：

#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 100000 + 5;
vector<int > prime_factor[N];
void init(){
    for(int i = 2; i <= N; i ++){
        if(prime_factor[i].size() == 0){//如果i是质数
            for(int j = i; j <= N; j += i){
                prime_factor[j].push_back(i);
            }
        }
    }
}
int main(){
    init();
    for(int i=0;i<prime_factor[60].size();i++)
    printf("%d ",prime_factor[60][i]);//60的所有素因子
}

如果把判断i是质数的判断(第8行),则是预处理每个数的因数

4.预处理每个数的质因数分解

#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 100000 + 5;
vector<int > prime_factor[N];
void init(){
    int temp;
    for(int i = 2; i < N; i ++){
        if(prime_factor[i].size() == 0){
            for(int j = i; j < N; j += i){
                temp = j;
                while(temp % i == 0){
                    prime_factor[j].push_back(i);
                    temp /= i;
                }
            }
        }
    }
}
int main(){
    init();
    for(int i=0;i<prime_factor[60].size();i++)
    printf("%d ",prime_factor[60][i]);
}