[Jobdu] 题目1544：数字序列区间最小值

题目描述：

给定一个数字序列，查询任意给定区间内数字的最小值。 

输入：

输入包含多组测试用例，每组测试用例的开头为一个整数n(1<=n<=100000)，代表数字序列的长度。
接下去一行给出n个数字，代表数字序列。数字在int范围内。
下一行为一个整数t(1<=t<=10000)，代表查询的次数。
最后t行，每行给出一个查询，由两个整数表示l、r(1<=l<=r<=n)。

输出：

对于每个查询，输出区间[l,r]内的最小值。

样例输入：

5
3 2 1 4 3
3
1 3
2 4
4 5

样例输出：

1
1
3

RMQ (Range Minimum/Maximum Query)问题是指：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在i,j里的最小(大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题。

主要方法及复杂度如下：

1、朴素（即搜索），O(n)-O(qn) online。

2、线段树，O(n)-O(qlogn) online。

3、ST（实质是动态规划），O(nlogn)-O(q) online。

ST算法（Sparse Table），以求最大值为例，设d[i,j]表示[i,i+2^j-1]这个区间内的最大值，那么在询问到[a,b]区间的最大值时答案就是max(d[a,k], d[b-2^k+1,k])，其中k是满足2^k<=b-a+1(即长度)的最大的k,即k=[ln(b-a+1)/ln(2)]。

d的求法可以用动态规划，d[i, j]=max(d[i, j-1],d[i+2^(j-1), j-1])。

4、RMQ标准算法：先规约成LCA（Lowest Common Ancestor），再规约成约束RMQ，O(n)-O(q) online。

首先根据原数列，建立笛卡尔树，从而将问题在线性时间内规约为LCA问题。LCA问题可以在线性时间内规约为约束RMQ，也就是数列中任意两个相邻的数的差都是+1或-1的RMQ问题。约束RMQ有O(n)-O(1)的在线解法，故整个算法的时间复杂度为O(n)-O(1)。

 

下面是方法3的实现：

#include <climits>
#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
 
int n, t;
int l, r;
int dp[100001][32];
 
void init() {
    for (int j = 1; (1<<j) <= n; ++j) {
        for (int i = 1; i + (1<<j) - 1 <= n; ++i) {
            dp[i][j] = min(dp[i][j-1], dp[i+(1<<(j-1))][j-1]);
        }
    }
}
 
void getRes() {
    int k = (int) (log((double)(r-l+1))/log(2.0));
    int res =  min(dp[l][k], dp[r-(1<<k)+1][k]);
    printf("%d
", res);
}
 
int main() {
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            scanf("%d", &dp[i][0]);
        }
        init();
        scanf("%d", &t);
        for (int i= 0; i < t; ++i) {
            scanf("%d %d", &l, &r);
            getRes();
        }
    }
    return 0;
}
/**************************************************************
    Problem: 1544
    User: hupo250
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:320 ms
    Memory:14068 kb
****************************************************************/