图算法 最小生成树 Kruskal算法（并查集）

　　之前对最小生成树Prim算法进行了一定的总结，并给出了代码实现，详见：http://www.cnblogs.com/dzkang2011/p/prim_1.html

一、介绍

　　由于忙于各类事务，在算法方面的学习有所停滞，现在将求最小生成树的另外一种算法补上，也就是Kruskal算法。有关最小生成树算法正确性的证明见上面链接。

　　Kruskal算法是一种实现起来较为简单，比较容易理解的算法，在图较为稀疏时能够获得很好的性能，但当图较为稠密时（|E|>>|V|)性能便不如Prim算法。后面我们会根据实际代码对Kruskal算法的时间复杂度进行分析。

　　Krusksl算法采用并查集（算法导论上的表示为不相交集合）实现。初始时，我们的所有顶点都构成单独的一棵树，也就是说由|V|棵树组成的森林。算法首先要做的是，将所有的边，按权值大小进行非降序排列。然后，按照权值从小到大来选择边，若该边的两个端点不在一棵树中，则将他们合并，并将该边置于最小生成树中。一直访问完所有的边为止。可以看出Kruskal算法属于一种贪心算法，而且能保证找到全局最优解。算法理解相应简单，我们不给出相应的证明，有兴趣的可以去钻研一下算法导论。

二、伪代码

　　算法的伪代码如下，其中A保存最小生成树，MAKE-SET(v)表示构造一棵只有顶点v的树，FIND-SET(u)表示找u所在树的根节点，Union(u, v)表示合并u和v的所在树：

　　　　MST-KRUSKAL(G, W)

　　　　　　A←∅

　　　　　　for each vertex v∈V[G]

　　　　　　　　do MAKE-SET(v)

　　　　　　sort the eages of E into nondecreasing order by weight w

　　　　　　for each eage(u, v)∈E, teken in nondecreasing order by weight

　　　　　　　　do if(FIND-SET(u) ≠ FIND-SET(v))

　　　　　　　　　　then A←A∪{ (u, v) }

　　　　　　　　　　　　Union(u, v)

　　　　return A

三、实现

下面给出C++的实现，之后再来分析时间复杂度：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

#define maxn 110    //最多点个数
int n, m;   //点个数，边数
int parent[maxn];   //父亲节点，当值为-1时表示根节点
int ans;    //存放最小生成树权值
struct eage     //边的结构体，u、v为两端点，w为边权值
{
    int u, v, w;
}EG[5010];

bool cmp(eage a, eage b)    //排序调用
{
    return a.w < b.w;
}

int Find(int x)     //寻找根节点，判断是否在同一棵树中的依据
{
    if(parent[x] == -1) return x;
    return Find(parent[x]);
}

void Kruskal()      //Kruskal算法，parent能够还原一棵生成树，或者森林
{
    memset(parent, -1, sizeof(parent));
    sort(EG+1, EG+m+1, cmp);    //按权值将边从小到大排序
    ans = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i++)     //按权值从小到大选择边
    {
        int t1 = Find(EG[i].u), t2 = Find(EG[i].v);
        if(t1 != t2)    //若不在同一棵树种则选择该边，合并两棵树
        {
            ans += EG[i].w;
            parent[t1] = t2;
        }
    }
}
int main()
{
    while(~scanf("%d%d", &n,&m))
    {
        for(int i = 1; i <= m; i++)
            scanf("%d%d%d", &EG[i].u, &EG[i].v, &EG[i].w);
        Kruskal();
        printf("%d
", ans);
    }
    return 0;
}

四、时间复杂度

　　分析以上代码中Kruskal算法的时间复杂度，n用V表示，m用E表示：

　　29行：将V个点父节点都置为-1，时间为O(V)

　　30行：stl中的sort函数，头文件为#include <algorithm>，时间复杂度为O(E log E)

　　32-40行：由于FIND-SET是树搜索操作，平均时间复杂度为O(lg V)，因为这几行时间复杂度平均为O(E log V)

综上：总复杂度表示为：O(V) + O(E log E) + O(E log V)；

　　当图为稠密图时，时间复杂度可表示为 O(E log E)；

　　一般图基本为稀疏图|E| < |V|^2，时间复杂度可表示为 O(E log V)。

　　因而，从时间复杂度来看，当图为稀疏图时，Kruskal算法性能和Prim相当，当为稠密图时，Prim性能更好。

五、小技巧

　　注意每合并两棵树，树的棵树就减少1，当根节点的个数只有一个即只有一棵树时，说明生成了最小生成树，此时程序便可终止，没有必要去查看后面权值更大的边，因而判断根节点的数目，在图较为稠密时，能够提高一定的性能，代码修改如下，图为完全图：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;

#define maxn 110    //最多点个数
int n, m;   //点个数，边数
int parent[maxn];   //父亲节点，当值为-1时表示根节点
int ans;    //存放最小生成树权值
struct eage     //边的结构体，u、v为两端点，w为边权值
{
    int u, v, w;
}EG[5010];

bool cmp(eage a, eage b)    //排序调用
{
    return a.w < b.w;
}

int Find(int x)     //寻找根节点，判断是否在同一棵树中的依据
{
    if(parent[x] == -1) return x;
    return Find(parent[x]);
}

void Kruskal()      //Kruskal算法，parent能够还原一棵生成树，或者森林
{
    memset(parent, -1, sizeof(parent));
    int cnt = n;        //初始时根节点数目为n个
    sort(EG+1, EG+m+1, cmp);    //按权值将边从小到大排序
    ans = 0;
    for(int i = 1; i <= m; i++)     //按权值从小到大选择边
    {
        if(cnt == 1) break;     //当根节点只有1个时，跳出循环
        int t1 = Find(EG[i].u), t2 = Find(EG[i].v);
        if(t1 != t2)    //若不在同一棵树种则选择该边，
        {
            ans += EG[i].w;
            parent[t1] = t2;
            cnt--;      //每次合并，减少一个根节点
        }
    }
}
int main()
{
    while(scanf("%d", &n), n)
    {
        m = n*(n-1)/2;  //完全图
        for(int i = 1; i <= m; i++)
            scanf("%d%d%d", &EG[i].u, &EG[i].v, &EG[i].w);
        Kruskal();
        printf("%d
", ans);
    }
    return 0;
}