考虑一个没有Monotone Triples的序列具有哪些性质。
- 当序列长度为(3)时，一定是以下两种情况之一：
- (a_1<a_2,a_2>a_3)。即先上升，后下降。至于(a_1,a_3)的大小关系，没有要求。
- (a_1>a_2,a_2<a_3)。即先下降，后上升。至于(a_1,a_3)的大小关系，没有要求。
- 当序列长度为(4)时，设四个元素的相对大小为(1,2,3,4)。那么一定是(1,4)在中间两个位置，(2,3)分别在两边的位置。形式化地说，我们要求：(max(a_2,a_3)>max(a_1,a_4),min(a_2,a_3)<min(a_1,a_4))。
- 当序列长度大于等于(5)时，序列中一定存在Monotone Triples。因为最小值或最大值中，至少有一个值，它的某一边有(geq3)个元素。这三个元素要么自己构成Monotone Triples，要么其中的两个必和这个最小/最大值构成Monotone Triples。（ps：上面长度为(4)的序列的性质也是用这一思路来证明的）
所以，问题转化为判断，区间内有没有长度为(4)的合法子序列，有没有长度为(3)的合法子序列。可以求出以每个点(i)作为左端点，长度为(4)的合法子序列的最小右端点，记为(ans4[i])。然后对(ans4)做后缀最小值。则一次询问(l,r)，就是要判断(suffixans4[l])是否(leq r)。(ans3)同理。
问题转化为对每个(i)，如何求(ans3[i]),(ans4[i])？
先考虑长度为(3)的子序列。我们可以用线段树上二分，找到(i)右边第一个(a_x>a_i)的位置(x)，再找到(x)右边第一个(a_y<a_x)的位置(y)。同理，还要考虑(a_x<a_i,a_y>a_x)的情况。两种情况的(y)的较小值，就是(ans3[i])了。如果不想写线段树上二分，也可以用单调栈实现。这与我们下面要讲的求长度为(4)的子序列的方法是类似的。
考虑长度为(4)的子序列。我们从右向左枚举(i)。维护两个单调栈。从栈顶到栈底，第一个栈元素的值单调下降，第二个栈的元素值单调上升。这样，我们可以求出每个(i)右边第一个值小于它的位置、值大于它的位置。记这两个位置分别为(x,y)。我们找到(max(x,y))右边，第一个不在任何一个单调栈中的位置，记为(z)。则(ans4[i]=z)。因为显然([i+1,z-1])中一定存在元素大于(max(a_i,a_z))，也一定存在元素小于(min(a_i,a_z))。
右边第一个不在任何一个单调栈中的位置，可以简单地用数据结构维护出来（如set）。找(x,y)，如果序列里没有重复元素，则显然(x,y)就分别是两个栈在(i)加入之前的栈顶。如果有重复元素，我们可以在单调栈里把等于(a_i)的那一段元素二分掉，接下来的位置上就是(x,y)了。至于我们为什么要把相等的数都存在单调栈里（即让栈里元素不严格上升/下降），这是为了防止序列出现(a_z=a_x)或(a_z=a_y)的情况。结合下面这组数据或许更容易理解。
//input:
5 1
2 1 2 3 3
1 5
//expect output:
3
1 2 3
//如果不让栈内元素非严格上升/下降,会输出:
4
1 2 4 5
时间复杂度(O(nlog n))。
参考代码：
//problem:CF1332G
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define lob lower_bound
#define upb upper_bound
#define fi first
#define se second
#define SZ(x) ((int)(x).size())
typedef unsigned int uint;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
namespace Fread{
const int MAXN=1<<20;
char buf[MAXN],*S,*T;
inline char getchar(){
if(S==T){
T=(S=buf)+fread(buf,1,MAXN,stdin);
if(S==T)return EOF;
}
return *S++;
}
}//namespace Fread
#ifdef ONLINE_JUDGE
#define getchar Fread::getchar
#endif
template<typename T>inline void read(T& x){
x=0;int f=1;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while(isdigit(ch))x=x*10+(ch-'0'),ch=getchar();
x*=f;
}
/* ------ by:duyi ------ */ // myt天下第一
const int MAXN=2e5;
int n,q,a[MAXN+5];
struct Ans3{
int p1,p2,p3;
Ans3(){p3=MAXN+1;}
}ans3[MAXN+5];
struct Ans4{
int p1,p2,p3,p4;
Ans4(){p4=MAXN+1;}
}ans4[MAXN+5];
struct SegmentTree{
int mx[MAXN*4+5],mn[MAXN*4+5];
void build(int p,int l,int r){
if(l==r){
mx[p]=mn[p]=a[l];
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(p<<1,l,mid);
build(p<<1|1,mid+1,r);
mx[p]=max(mx[p<<1],mx[p<<1|1]);
mn[p]=min(mn[p<<1],mn[p<<1|1]);
}
int _nxt_bigger(int p,int l,int r,int v){
if(l==r){assert(mx[p]>v);return l;}
int mid=(l+r)>>1;
if(mx[p<<1]>v)return _nxt_bigger(p<<1,l,mid,v);
else return _nxt_bigger(p<<1|1,mid+1,r,v);
}
int nxt_bigger(int p,int l,int r,int pos,int v){
if(mx[p]<=v)return n+1;
if(l>=pos)return _nxt_bigger(p,l,r,v);
int mid=(l+r)>>1,res=n+1;
if(pos<=mid)res=nxt_bigger(p<<1,l,mid,pos,v);
if(res!=n+1)return res;
else return nxt_bigger(p<<1|1,mid+1,r,pos,v);
}
int _nxt_smaller(int p,int l,int r,int v){
if(l==r){assert(mn[p]<v);return l;}
int mid=(l+r)>>1;
if(mn[p<<1]<v)return _nxt_smaller(p<<1,l,mid,v);
else return _nxt_smaller(p<<1|1,mid+1,r,v);
}
int nxt_smaller(int p,int l,int r,int pos,int v){
if(mn[p]>=v)return n+1;
if(l>=pos)return _nxt_smaller(p,l,r,v);
int mid=(l+r)>>1,res=n+1;
if(pos<=mid)res=nxt_smaller(p<<1,l,mid,pos,v);
if(res!=n+1)return res;
else return nxt_smaller(p<<1|1,mid+1,r,pos,v);
}
SegmentTree(){}
}T;
int sta1[MAXN+5],sta2[MAXN+5],top1,top2,insta[MAXN+5];
/*
sta1 栈内元素,从栈顶(top)到栈底(1),a[i]的值(非严格)递减
sta2 栈内元素,从栈顶(top)到栈底(1),a[i]的值(非严格)递增
*/
int main() {
read(n);read(q);
for(int i=1;i<=n;++i)read(a[i]);
T.build(1,1,n);
for(int i=n-2;i>=1;--i){
int x=T.nxt_bigger(1,1,n,i,a[i]),y=n+1;
if(x<n)y=T.nxt_smaller(1,1,n,x,a[x]);
if(y!=n+1){
ans3[i].p1=i;
ans3[i].p2=x;
ans3[i].p3=y;
}
x=T.nxt_smaller(1,1,n,i,a[i]),y=n+1;
if(x<n)y=T.nxt_bigger(1,1,n,x,a[x]);
if(y<ans3[i].p3){
ans3[i].p1=i;
ans3[i].p2=x;
ans3[i].p3=y;
}
if(i!=n-2&&ans3[i+1].p3<ans3[i].p3)ans3[i]=ans3[i+1];
}
set<int>s;//不在任何一个栈中的元素
for(int i=n;i>=1;--i){
while(top1){
int p=sta1[top1];
if(a[p]>a[i]){
insta[p]--;
if(!insta[p])s.insert(p);
top1--;
}
else break;
}
while(top2){
int p=sta2[top2];
if(a[p]<a[i]){
insta[p]--;
if(!insta[p])s.insert(p);
top2--;
}
else break;
}
int p1=0,p2=0;
int l=0,r=top1;
while(l<r){
int mid=(l+r+1)>>1;
if(a[sta1[mid]]<a[i])l=mid;
else r=mid-1;
}
p1=l;
l=0,r=top2;
while(l<r){
int mid=(l+r+1)>>1;
if(a[sta2[mid]]>a[i])l=mid;
else r=mid-1;
}
p2=l;
if(p1&&p2){
//cout<<i<<endl;
set<int>::iterator it=s.upb(max(sta1[p1],sta2[p2]));
if(it!=s.end()){
l=1,r=p1;
while(l<r){
int mid=(l+r)>>1;
if(sta1[mid]<(*it))r=mid;
else l=mid+1;
}
p1=sta1[l];
l=1,r=p2;
while(l<r){
int mid=(l+r)>>1;
if(sta2[mid]<(*it))r=mid;
else l=mid+1;
}
p2=sta2[l];
ans4[i].p1=i;
ans4[i].p2=min(p1,p2);
ans4[i].p3=max(p1,p2);
ans4[i].p4=(*it);
}
}
if(ans4[i+1].p4<ans4[i].p4)ans4[i]=ans4[i+1];
insta[i]=2;
sta1[++top1]=i;
sta2[++top2]=i;
}
while(q--){
int l,r;
read(l);read(r);
if(ans4[l].p4<=r){
printf("%d
%d %d %d %d
",4,ans4[l].p1,ans4[l].p2,ans4[l].p3,ans4[l].p4);
}
else if(ans3[l].p3<=r){
printf("%d
%d %d %d
",3,ans3[l].p1,ans3[l].p2,ans3[l].p3);
}
else{
puts("0
");
}
}
return 0;
}