从Swap函数谈加法溢出问题

1.      初始题目

面试题：不用额外的变量，实现一个Swap函数，交换两个参数的值（问题1）。

这个题目太经典，也太简单，有很多人都会不假思索结出答案：

//Code 1
void Swap(int* a, int* b)
{
    *a = *a + *b;
    *b = *a - *b;
    *a = *a - *b;
}

但真正的难点来了，接下来，就会有面试的第二问：指出code1算法的问题，并修正（问题2）。

2.      错误思路

一些毁人不倦的书，把其中的问题归结到了溢出（overflow）。修改方法是用异或替代加减，即：

//Code 2
void Swap(int* a, int* b)
{
    *a = *a ^ *b;
    *b = *a ^ *b;
    *a = *a ^ *b;
}

诚然，在很多场合，大数的加法都会带来溢出的问题。但Code1 中的Swap函数真会构成溢出问题么？（问题3）

2.1 错误的想法

大家都能清楚的描述加法溢出的产生原因：运算结果超出了变量的表示范围。

发生溢出时，结果会是多少呢？有很多人是知道的，但可能表述得不太清晰：舍弃超出变量内存范围的高位（加法只会舍弃最高位），保留在范围内的低位。

用这个概念，去分析问题3，恐怕是很难得到明确的答案的。很多人简单看看，认为执行两个很大的数的加法后，运算结果丢了最高位，所以会构成问题。

和问题3的知识点相同的，有另外一个问题：

判断两个int型变量相加，是否会溢出？不会溢出返回0，否则返回非0整数。下面的方法是否可行？（问题4）

//Code 3
int IsOverFlow(int x, int y)
{
    int sum = x + y;
    return (sum - x == y) && (sum - y == x);
}

对问题3，回答“会构成问题”的同学。回答问题4时，应该会认为“方法可行”。理由是，认为溢出后，信息丢失，以后的运算都不再能得到正确结果。

2.2  加法的溢出

事实上，问题3的答案是：不会溢出；问题4的答案是：方法不可行。

用一下数学符号表述，可以清晰的得到正确答案。

假设一个整型变量有w位，那么，整型变量的表示范围是： -2^w-1 ~ 2^w-1-1。 当求和结果超出这个范围时，就发生溢出。即正数的绝对值大于2^w-1-1时，发生正溢出，负数绝对值大于2^w-1时，发生负溢出

加法的溢出，只会发生在两个求和参数同正负符号的时候。

第w-1位 (符号位)

第w-2位

第w-3位

…………

第2位

第1位

第0位

一正一负时，肯定不会发生溢出，因为这时：|x +y| < max{|x|, |y|}

对于两个很大的正数相加，发生正溢出时，第w-1位肯定为1，假设除去最高位时，剩下w-1位（第0至w-2位）的内存可以表示为数：r。即 x + y = r + 2^w-1。

由于是有符号数，第w-1位是符号位，由于符号位是1，说明结果是负数，采用补码，即运算结果为：sum =- (2^w-1 – r) = r-2^w-1。即于sum = r + 2^w-1-2^w=x + y - 2^w

同时，两个绝对值很大的负数相加，发生负溢出后的结果是： s = x + y + 2^w

当两个正数产生加法溢出时，运算结果s = x + y – 2^w。 此时， s < 0。

再做减法：s – x = x + y - 2^w - x = y + 2^w 由于|y| <2^w-1,有 |y - 2^w| >2^w-1 ，发生负溢出，在结果上又加上了 2^w。即，x + y - 2^w – x + 2^w ，这个结果等于y。

因此问题3的答案是“不构成问题”，问题4的答案是：不可行。

判断两个int型变量相加，是否会溢出？不会溢出返回0，否则返回非0整数。这个函数需要怎么设计？（问题5）

发生正溢出后，结果将是负数；发生负溢出后，结果将是正数。

因此可以这样做：

//Code 4
int IsOverFlow(int x, int y)
{
    int sum = x + y;
    int posOver = (x > 0) && (y > 0) && (x + y < 0);
    int negOver = (x < 0) && (y < 0) && (x + y > 0);
    return posOver || negOver;
}
 

3.      解决问题

回顾一个经典的算法，快排：

//Code 5
void QSort(int a[], int start, int end)
{
    if (start >= end)
        return;
    int lastLessIdx = start;
    for (int traveler = start + 1; traveler <= end; ++traveler)
    {
        if (a[traveler] < a[start])
        {      
            Swap(&a[++lastLessIdx], &a[traveler]);
        }      
    }
    Swap(&a[lastLessIdx], &a[start]);
    QSort(a, start, lastLessIdx - 1);
    QSort(a, lastLessIdx + 1, end);
}

其中用到了Swap函数。但是，直接用code1中给出的Swap函数行吗？

不行。Code1中的Swap函数，没有考虑自己与自己换的情况。当需要自己与自己交换时（快排中lastLessIdx + 1 == traveler 时），Code1直接把值变成了0。

因此，修正方法很简单，判断是不是自己在和自己交换即可：

//Code 6
void Swap(int* a, int* b)
{
    if (a == b)
        return;
    *a = *a + *b;
    *b = *a - *b;
    *a = *a - *b;
}