文章截图如下：
文章要完成的任务是，首先给定一个参考网格序列，然后在实际物理模拟中，对照参考序列施加额外的力，使得模拟的序列既保持物理真实，又能够受到参考序列控制。
对于有限元模拟，有动力学方程
其中p是顶点位移，dp/dt是速度。
令状态变量z=[p,dp/dt]，可化为：
其中w是额外施加的控制力
由此可见，wfb变化时，z(t)是wfb的函数，因为对于每组wfb序列，由物理模拟方程
都可以得到z的序列。
为了当不具有外力输入时，物体按照参考轨迹运动，首先把上式的w分成多项
wff称为前馈控制力，预先算出。方法是把参考轨迹代入动力学方程得下式，反求出wff。
wext为外力，例如是用户在模拟过程中通过交互施加的力，因此模拟之前不可预知。
此处讲讲前馈与反馈： 前馈的意思是，假定预先知道系统的一些特性（此处就是物体要沿着参考轨迹运动），基于这些知识，预先给系统施加一些力。 与前馈相对的是反馈，反馈的做法是根据此时系统实际的运行偏差（此处是在模拟过程中，会遇到突然施加的一些外力），施加力使得系统偏差缩小。 前馈控制是基于"先验知识"的，是事先设计好的（正式物理模拟之前已经算出每步的wff），而反馈控制是基于实际偏差，是一种事后补救方法（在物理模拟的进行过程中，根据当前偏差去修正）。 |
控制的方法是，在每一个时刻，最小化以下关于wfb的函数：
其中z(t)是状态变量
由于z关于wfb高度非线性，需要在参考序列附近对其线性化。
令 Δz = z - zref ， zref是参考序列的状态，有：
，于是
，当Δz为0时，由前述定义，wfb也为0于是Δz变成wfb的线性函数，于是最小化的（5）式就是wfb的二次型，便可快速求解。