这两天实现了一维搜索算法，以及BFGS方法。
在Nocedal 的 Numerical Optimization一书中，一维搜索的大概方法是逐步增大步长，发现步长太大时（例如，函数开始上升、wolfe充分下降条件不再满足），或者找到满足wolfe充分下降和曲率条件的步长时，停止增大步长，转为尝试用一个函数去插值这些数据点，再找这个函数在给定区间的极小值点。函数可以选二次或三次函数。顺便说一声，书中57页(3.43)给出了已知两点导数和函数值拟合三次函数的公式，我经过实验后发现这个公式是不对的（算出来的不是极小值点），后来自己推导了一个公式。
在一维搜索的过程中，需要多次求函数值或导数值，在我的有限元模拟程序中，这两项都有一定开销，尤其是导数值。因为函数值对应能量，导数值对应力，能量需要把每个四面体代入本构模型计算，而力的计算类似，但是每个四面体的计算量较大。因此，需要尽量减少这些求值的次数。在我的实现中，发现采用准确的Hessian的情况下，初始步长1.0能够满足wolfe条件，但在到达最小值点附近是，估计是由于数值误差，一维搜索一般会失败（计算出的步长为0）。
之后尝试了BFGS方法，发现效果不如想象的好。在我的程序中，Hessian矩阵可以分成四块，其中一块计算量较大（需要计算雅可比矩阵对自变量的导数，详细见Rig Space Physics这篇论文），因此希望用BFGS方法进行近似。我的方法是按照BFGS更新Hessian（注意不是Hessian^-1）的公式，把这一块用上一次的Hessian各块、自变量增量、梯度增量更新，而其他各块仍然用准确的计算方法。但是发现这样算出来的函数值一开始（也就是第二次迭代，第一次迭代我用准确的Hessian）不降反升，有时候会突然变大再变小，而且收敛速度明显放慢。
下一步检查 BFGS 方法的计算是否存在问题。
现在参数只控制平移旋转缩放，因此下下一步是实现一个复杂一些的变形器（具体形式暂时没想好……），以此检验牛顿法的稳定程度。
再下一步考虑直接与Maya通信，利用其节点求值机制，这样就不用自己写变形器了。这一步可考虑用Python编程，这样同时就掌握到了Python了。
最后发模拟一个圆环弹跳的结果……
