一、引文
二叉搜索树的查找效率取决于平均搜索长度，而这又取决去树的形状。当二叉搜索树退化为一个链表时，查找效率非常低。理想的形状是任何结点的左右子树的高度最多相差1，而这样的二叉树我们也称之位平衡二叉树。
二、分析
平衡二叉树的最核心的地方就在于四种旋转情况
左左情况：右旋
即相对根结点的左子树的高度比右子树高2，且插入的点为左子树的左孩子，不满足条件，所以右旋。
左右情况：先左再右
但如果插入的数是3，如果再只右旋，就会发现有问题，所以这里需要先以2为根结点左旋再以4为根结点右旋。
右右情况：左旋
即相对根节点的右子树的高度比左子树高2，且插入的点为右子树的右孩子，不满足条件，所以左旋
右左情况：先右再左
如果插入的为5，那么如果只左旋也会出现问题，所以先右旋再左旋。
三、具体代码实现
1 #ifndef AVL_H 2 #define AVL_H 3 4 using namespace std; 5 6 template<class T> 7 class AvlTree 8 { 9 private: 10 typedef struct AvlNode 11 { 12 T data; //数据 13 int height; //结点深度 14 struct AvlNode *lchild, *rchild; //左右孩子 15 AvlNode(const T &item):data(item),height(0),lchild(NULL),rchild(NULL){} 16 }AvlNode; 17 AvlNode *Root; 18 int size; 19 void R_Rotate(AvlNode * &root); //右旋 20 void L_Rotate(AvlNode * &root); //左旋 21 void LR_Rotate(AvlNode * &root); //先左再右 22 void RL_Rotate(AvlNode * &root); //先右再左 23 int Height(AvlNode * &root){ return (root == NULL?-1:root->height);}; //-1是因为根的深度为0 24 void Print(AvlNode * root); 25 public: 26 AvlTree(void):Root(NULL),size(0){}; 27 ~AvlTree(void){Clear(Root); size = 0;}; 28 void Insert(const T &x, AvlNode * &root); 29 void Insert(const T&x){Insert(x, Root);}; 30 int Size(){return size;}; 31 void Clear(AvlNode *&root); 32 void Print(){Print(Root);puts("");}; 33 34 }; 35 36 template<class T> 37 void AvlTree<T>::R_Rotate(AvlNode * &root) 38 { 39 AvlNode *p = NULL; 40 p = root->lchild; 41 root->lchild = p->rchild; 42 p->rchild = root; 43 root->height = max(Height(root->lchild), Height(root->rchild)) + 1; 44 p->height = max(Height(p->lchild), Height(p->rchild)) + 1; 45 root = p; 46 } 47 template<class T> 48 void AvlTree<T>::L_Rotate(AvlNode * &root) 49 { 50 AvlNode *p = NULL; 51 p = root->rchild; 52 root->rchild = p->lchild; 53 p->lchild = root; 54 root->height = max(Height(root->lchild), Height(root->rchild)) + 1; 55 p->height = max(Height(p->lchild), Height(p->rchild)) + 1; 56 root = p; 57 } 58 template<class T> 59 void AvlTree<T>::LR_Rotate(AvlNode * &root) 60 { 61 L_Rotate(root->lchild); 62 R_Rotate(root); 63 } 64 template<class T> 65 void AvlTree<T>::RL_Rotate(AvlNode * &root) 66 { 67 R_Rotate(root->rchild); 68 L_Rotate(root); 69 } 70 template<class T> 71 void AvlTree<T>::Insert(const T &x, AvlNode * &root) 72 { 73 if(root == NULL) 74 { 75 root = new AvlNode(x); 76 size++; 77 return; 78 } 79 else if(x < root->data) 80 { 81 Insert(x, root->lchild); 82 if(Height(root->lchild) - Height(root->rchild) == 2) 83 { 84 if(x < root->lchild->data) 85 R_Rotate(root); 86 else 87 LR_Rotate(root); 88 } 89 } 90 else if(x > root->data) 91 { 92 Insert(x, root->rchild); 93 if(Height(root->rchild) - Height(root->lchild) == 2) 94 { 95 if(x > root->rchild->data) 96 L_Rotate(root); 97 else 98 RL_Rotate(root); 99 } 100 } 101 root->height = max(Height(root->lchild), Height(root->rchild) ) + 1; 102 103 } 104 105 template<class T> 106 void AvlTree<T>::Clear(AvlNode * &root) 107 { 108 if(root == NULL) 109 return; 110 Clear(root->rchild); 111 Clear(root->lchild); 112 delete root; 113 root = NULL; 114 } 115 116 #endif