此部分内容接《02(a)多元无约束优化问题》！
第二类：牛顿法(Newton method)
[f({{mathbf{x}}_{k}}+mathbf{delta }) ext{ }approx ext{ }f({{mathbf{x}}_{k}})+{{ abla }^{T}}f({{mathbf{x}}_{k}})cdot mathbf{delta }+frac{1}{2}{{mathbf{delta }}^{T}}cdot {{ abla }^{2}}f({{mathbf{x}}_{k}})cdot mathbf{delta }]
在${{mathbf{x}}_{k}}$定了的情况下，$f({{mathbf{x}}_{k}}+mathbf{delta }) ext{ }$可以看成是$mathbf{delta }$的函数，要使函数达到极小值点，即找出使得函数$f({{mathbf{x}}_{k}}+mathbf{delta })$对$mathbf{delta }$的一阶导数等于0，则有：
[egin{aligned}& f({{mathbf{x}}_{k}}+mathbf{delta }{)}' ext{ }= abla f({{mathbf{x}}_{k}})+{{ abla }^{2}}f({{mathbf{x}}_{k}})cdot mathbf{delta } \& ext{ =} abla f({{mathbf{x}}_{k}})+H({{mathbf{x}}_{k}})cdot mathbf{delta }=0 \end{aligned}]
则下降方向可写为：$mathbf{delta }=-{{H}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})cdot abla f({{mathbf{x}}_{k}})$。
(听课的时候就一直在想，一阶导数等于零的点就是极小值点吗？？？$y=a{{x}^{2}}+bx+c$一种简单的一元二次函数的一阶导数等于0的点，是不是极小值点，还的看$a$的正负呢！)
图 1
从上图中可以看出，在点${{mathbf{x}}_{k}}$处使函数下降最快的方向是$- abla f({{mathbf{x}}_{k}})$方向，但它却不是使$f({{mathbf{x}}_{k}})$最快接近最小值的方向(最快接近最小值方向应该是上图中红色虚线的方向)；由此见牛顿法的下降方向：$mathbf{delta }=-{{H}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})cdot abla f({{mathbf{x}}_{k}})$，就是在$- abla f({{mathbf{x}}_{k}})$乘上了一个该点Hessian阵的逆${{H}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})$；我们希望的是在乘上${{H}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})$后使得下降方向朝向上图中红色虚线的方向；But，在有些情况下乘上${{H}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})$后，不但没有使函数值$f({{mathbf{x}}_{k}})$下降，反而让函数值$f({{mathbf{x}}_{k}})$变大了。只有当${{H}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})$在满足下面的条件下，才能使函数值不断减小：
[egin{aligned}& {{left( - abla f({{mathbf{x}}_{k}}) ight)}^{T}}cdot left( -{{H}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})cdot abla f({{mathbf{x}}_{k}}) ight)=left| - abla f({{mathbf{x}}_{k}}) ight|cdot left| -{{H}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})cdot abla f({{mathbf{x}}_{k}}) ight|cos( heta ) \& ext{ =}{{ abla }^{T}}f({{mathbf{x}}_{k}})cdot {{H}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})cdot abla f({{mathbf{x}}_{k}})>0 \end{aligned}]
即要使从新获得的下降方向$-{{H}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})cdot abla f({{mathbf{x}}_{k}})$与最速下降方向$- abla f({{mathbf{x}}_{k}})$之间的夹角$-{pi }/{2};< heta <{pi }/{2};$。要满足：
[{{ abla }^{T}}f({{mathbf{x}}_{k}})cdot {{H}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}}) abla f({{mathbf{x}}_{k}})>0]
${{H}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})$要达到什么样的条件呢，由正定二次型的性质可知，当${{H}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})$为正定阵(等价于${{H}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})succ 0$的全部特征值大于0)时，式(12)恒成立；当${{H}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})$不是正定阵的情况下仍然希望使用牛顿法，则需要对最速下降方向$- abla f({{mathbf{x}}_{k}})$前面乘的Hessian阵的逆${{H}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})$进行改进；由于${{H}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})$为一个实对称阵，所以一定能正交分解，这里取${{lambda }_{1}},{{lambda }_{2}},...,{{lambda }_{n}}$从大到小排:
[{{H}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})=Uleft[ egin{matrix}{{lambda }_{1}} & {} & {} & {} \{} & {{lambda }_{2}} & {} & {} \{} & {} & ddots & {} \{} & {} & {} & {{lambda }_{n}} \end{matrix} ight]{{U}^{T}}]
具体步骤：
s1：找出${{H}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})$的最小特征值:Matlab代码可写为$min (eig({{H}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})))=-9.8$;
s2：组合得到一个新的${{hat{H}}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})={{H}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})+9.9E$；
[egin{aligned}& {{{hat{H}}}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})=Uleft[ egin{matrix}{{lambda }_{1}} & {} & {} & {} \{} & {{lambda }_{2}} & {} & {} \{} & {} & ddots & {} \{} & {} & {} & -9.8 \end{matrix} ight]{{U}^{T}}+9.9UE{{U}^{T}} \& ext{ }=Uleft[ egin{matrix}{{lambda }_{1}}+9.9 & {} & {} & {} \{} & {{lambda }_{2}}+9.9 & {} & {} \{} & {} & ddots & {} \{} & {} & {} & 0.1 \end{matrix} ight]{{U}^{T}}succ 0 \end{aligned}]
这里由于$U$为正交阵，故由$U{{U}^{T}}=E$，这样牛顿法的下降方向可写为：
[mathbf{delta }=-{{hat{H}}^{-1}}({{mathbf{x}}_{k}})cdot abla f({{mathbf{x}}_{k}})]
Step3：通过Step2确定下降方向${{mathbf{d}}_{k}}$之后，$f({{mathbf{x}}_{k}}+{{alpha }_{k}}{{mathbf{d}}_{k}})$可以看成${{alpha }_{k}}$的一维函数，这一步的主要方法有(Dichotomous search, Fibonacci search, Goldensection search, quadratic interpolation method, and cubic interpolation method)；所确定一个步长${{alpha }_{k}}>0$，${{mathbf{x}}_{k+1}}={{mathbf{x}}_{k}}+{{alpha }_{k}}{{mathbf{d}}_{k}}$；
Step4： if走一步的距离$left| {{alpha }_{k}}{{mathbf{d}}_{k}} ight|<varepsilon $，则停止并且输出解${{mathbf{x}}_{k+1}}$；else $k:=k+1$并返回Step2，继续迭代。