• A*算法


    一. 算法思想

    在使用best-first的搜索策略时,有时可以得到最优解,有时无法得到最优解,因此best-first只能较快的解决可行解问题。

    A*算法是  重新定义代价函数,使得best-first搜索策略可以得到优化解的算法

    A*算法(Best-first + 特殊代价函数~> 优化解)

    a. 设计g(n)、h(n)、f(n):(带*为实际值,不带*为估计值) 

    g(n)=从树根到n的代价(原best-first中的代价函数)

    h(n)=n到目标节点优化代价估计值(【要求】:新构造的估计函数,满足:h(n)<=h*(n)

    f(n)=g(n)+ h(n)是节点n的估计代价(A*算法的估计代价函数,满足f(n)<=f*(n) )

    思想:抵达目标结点时,同时满足

                (1)算法本身保证的估计值始终小于等于最优解

                (2)作为可行解始终大于等于最优解

    b. 根据best-first搜索策略即可得到优化解

    二. 正确性证明

    证明:A*算法得到的解一定是优化解

    令n是任意扩展到的节点, t 是第一个抵达的目标结点.

    往证:当f(t)=g(t)时,即得到优化解代价.

    (1)A*算法使用Best-first策略, f(t) <= f(n)

    (2).A*算法使用h(n)<=h*(n)估计规则, f(t)<=f(n)<=f*(n).

    (3). {f*(n)}中必有一个为优化解的代价,令其为f*(s). 我们有f(t) <= f*(s).

    (4). t是目标节点h(t)=0,所以f(t)=g(t)+h(t)=g(t) <= f*(s).

    (5). f(t)=g(t)是一个可能解,g(t) >= f*(s),f(t)=g(t)=f*(s).

    三. 算法应用

    【最短路径问题】

    • 问题定义:

                         

    • 算法设计:

    (1)设计g(n)、 h(n):

    g(n):出发点到当前点的代价(构造时参考best-first策略)

    h(n):当前点的最小出边权值(构造时只需满足h(n) <= h*(n)即可)

    (2)Best-first策略得到最优解即可

     

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