• 康托展开的公式(模版原理)


    康托展开的公式是 X=an*(n-1)!+an-1*(n-2)!+...+ai*(i-1)!+...+a2*1!+a1*0! 其中,ai为当前未出现的元素中是排在第几个(从0开始)。
      这个公式可能看着让人头大,最好举个例子来说明一下。例如,有一个数组 s = ["A", "B", "C", "D"],它的一个排列 s1 = ["D", "B", "A", "C"],现在要把 s1 映射成 X。n 指的是数组的长度,也就是4,所以
    X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0!
    关键问题是 a4、a3、a2 和 a1 等于啥?
    a4 = "D" 这个元素在子数组 ["D", "B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"B"是第1大的元素,"C" 是第2大的元素,"D"是第3大的元素,所以 a4 = 3。
    a3 = "B" 这个元素在子数组 ["B", "A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"B"是第1大的元素,"C" 是第2大的元素,所以 a3 = 1。
    a2 = "A" 这个元素在子数组 ["A", "C"] 中是第几大的元素。"A"是第0大的元素,"C"是第1大的元素,所以 a2 = 0。
    a1 = "C" 这个元素在子数组 ["C"] 中是第几大的元素。"C" 是第0大的元素,所以 a1 = 0。(因为子数组只有1个元素,所以a1总是为0)
    所以,X(s1) = 3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20


    A B C | 0
    A C B | 1
    B A C | 2
    B C A | 3
    C A B | 4
    C B A | 5

    通过康托逆展开生成全排列

      如果已知 s = ["A", "B", "C", "D"],X(s1) = 20,能否推出 s1 = ["D", "B", "A", "C"] 呢?
      因为已知 X(s1) = a4*3! + a3*2! + a2*1! + a1*0! = 20,所以问题变成由 20 能否唯一地映射出一组 a4、a3、a2、a1?如果不考虑 ai 的取值范围,有
    3*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0! = 20
    2*3! + 4*2! + 0*1! + 0*0! = 20
    1*3! + 7*2! + 0*1! + 0*0! = 20
    0*3! + 10*2! + 0*1! + 0*0! = 20
    0*3! + 0*2! + 20*1! + 0*0! = 20
    等等。但是满足 0 <= ai <= n-1 的只有第一组。可以使用辗转相除的方法得到 ai,如下图所示:

    知道了a4、a3、a2、a1的值,就可以知道s1[0] 是子数组["A", "B", "C", "D"]中第3大的元素 "D",s1[1] 是子数组 ["A", "B", "C"] 中第1大的元素"B",s1[2] 是子数组 ["A", "C"] 中第0大的元素"A",s[3] 是子数组 ["C"] 中第0大的元素"C",所以s1 = ["D", "B", "A", "C"]。
    这样我们就能写出一个函数 Permutation3(),它可以返回  s 的第 m 个排列。

     1 #include<iostream>
     2 #include<algorithm>
     3 #include<vector>
     4 #include<cstdlib>
     5 using namespace std;
     6 class cantor{
     7 public:
     8     int n;//字符串的长度
     9     string s;
    10     int pos;//字符串在全排列中的字典位置,从0开始
    11     vector<int>num;//所有的字符
    12     cantor(string s):s(s){n=s.size();}
    13     cantor(int n,int pos):n(n),pos(pos){
    14         int i;
    15         for(i=0;i<n;i++)
    16             num.push_back(i);
    17     }
    18     int fac(int);
    19     void encode();
    20     void decode();
    21     
    22 };
    23 int cantor::fac(int num){
    24     if(num==0) return 1;
    25         else return num*fac(num-1);
    26 }
    27 void cantor::encode(){
    28     int i,j,count;
    29     vector<int>vec(n);
    30     for(i=0;i<n;i++){
    31         count=0;
    32         for(j=i;j<n;j++)
    33             if(s[i]>s[j]) count++;    
    34         vec[n-i-1]=count;
    35                 }
    36     pos=0;
    37     for(i=0;i<s.size();i++)
    38         pos+=vec[i]*fac(i);    
    39 }
    40 void cantor::decode(){
    41     int i;
    42     div_t divresult;
    43     for(i=n-1;i>=0;i--){
    44         divresult=div(pos,fac(i));求余数与除数
    45         s.push_back(num[divresult.quot]+'0');
    46         num.erase(num.begin()+divresult.quot);
    47         pos=divresult.rem;
    48             }
    49 }
    50 int main(){
    51     cantor test(4,2);
    52     test.decode();
    53     cout<<test.s<<endl;
    54 }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/dshn/p/4948367.html
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