SSLOJ 1490.阶乘

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• 题目
  • 题目描述
  • 输入
  • 输出
  • 样例
  • 说明
• 思路
  • 质因数分解
    • 算术基本定理
    • 试除法
  • 阶乘分解
• 反思
• 代码

题目

题目描述

输入

第一行有一个正整数T,表示测试数据的组数。
接下来的T行，每行输入两个十进制整数n和base。

输出

对于每组数据，输出一个十进制整数，表示在base进制下，n!结尾的零的个数。

样例

输入样例
2
10 10
10 2
输出样例

2

8

说明

对于20%的数据，n<=20,base<=16

对于50%的数据，n<=10 ^ 9,base<=10 ^ 5

对于100%的数据，1<=T<=50，0<=n<=10 ^ 18，2<=base<=10 ^ 12

思路

base进制下末尾为0，意味着什么呢？
十进制下乘以10，末尾加一个0
二进制下乘以2，末尾也加一个0
是不是发现了什么
没错，想想短除法转化进制
仔细思考下（下面是（14）₁₀转二进制）：

剩下的怎么处理，看完就明白了
以下摘自《算法竞赛进阶指南（李煜东 著）》P137~138

质因数分解

算术基本定理

任何一个大于1的正整数都能唯一分解为有限个质数的乘积，可写作：N= p₁^c1 *p₂^c2 * ... * p_m^cm
其中ci都是正整数，pi都是质数，且满足P1<P2<…<Pm。

试除法

结合质数判定的“试除法”和质数筛选的“Eratosthenes筛法”，我们可以扫描2~floor(sqrt(n))的每个数d,若d能整除N,则从N中除掉所有的因子d,同时累计除去的d的个数。
因为一个合数的因子一定在扫描到这个合数之前就从N中被除掉了，所以在上述过程中能整除N的一定是质数。最终就得到了质因数分解的结果，易知时间复杂度为0(VN)。
特别地，若N没有被任何2~VN的数整除，则N是质数，无需分解。

阶乘分解

给定整数N(1≤N≤10⁶),试把阶乘N!分解质因数，按照算术基本定理的形式输出分解结果中的p_i和c_i即可。
若把1 ~ N每个数分别分解质因数，再把结果合并，时间复杂度过高，为0(Nsqrt(N)).显然，N!的每个质因子都不会超过N,我们可以先筛选出1~N的每个质数p,然后考虑阶乘N!中一共包含多少个质因子p。
N!中质因子p的个数就等于1 ~ N每个数包含质因子p的个数之和。在1~N中，p的倍数，即至少包含1个质因子p的显然有[N/p]个。而p²的倍数，即至少包含2个质因子p的有[N/p²]个。不过其中的1个质因子已经在[N/p]里统计过，所以只需要再统计第2个质因子，即累加上[N/p²],而不是2*[N/p²]。
综上所述，N!中质因子p的个数为：
对于每个p,只需要O(logN)的时间计算上述和式。故对整个N!分解质因数的时间复杂度为O(NlogN)。

反思

这题交了很多次都没过，都是些细节问题，以后要多注意，多思考细节

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
ll n , base;
ll cnt;
int main(){
	int T;
	cin >>T;
	while(T--){
		cin >> n >> base;
		ll minn = (1ll << 60);
		for(ll i = 2 ; i * i <= base ; i++){
			//错误1：当时i没开longlong，以为不用，但是i*i会爆掉
			if(base % i == 0){
				cnt = 0;
				while(base % i == 0)
					base /= i , cnt++;
				ll sum = 0;
				for(ll j = i ; j <= n ; j *= i){
					sum += n / j;
					if(j > n / i)
						break;
//错误2：当时没注意这点，原因是当j非常接近n时，再乘以i也会出事（n到10^18时已经接近longlong极限），需要提前判断，当然，其他博客也有其他更简单的写法
				}
				sum /= cnt;
				if(sum < minn)
					minn = sum;
			}
			
		}
		if(base > 1){
			ll sum = 0;
			for(ll j = base ; j <= n ; j *= base){
				sum += n / j;
				if(j > n / base)
					break;
			}
			if(sum < minn)
				minn = sum;
		}
		cout << minn << endl;
	}
	
	return 0;
}

链接：其他写法https://blog.csdn.net/qq_43412506/article/details/87008006