• 简单数论总结1——gcd与lcm


    并不重要的前言

      最近学习了一些数论知识,但是自己都不懂自己到底学了些什么qwq,在这里把知识一并总结起来。

    也不是很难的gcd和lcm

       显而易见的结论:

      为什么呢?

      根据唯一分解定理:

            a和b都可被分解为素因子的乘积,形如:

      则显而易见的有一下结论:

     

     

      相乘,得:

     

      得证

     

    几种求gcd的算法

      1.   欧几里得算法(辗转相除法)
      2.      辗转相减法(优化:stein_gcd)  

          

         欧几里得算法

     基于事实:

      

     实现:

    1 int gcd(int a, int b){
    2   return (b == 0) ? a : gcd( b , a % b) ;          
    3 }

      简短而容易实现和记忆,非常优美

      但是可能会被斐波那契数列卡住,证明或者原因鸽了回头再写

          stein_gcd算法

      stein_gcd本质上是对更相减损术的优化,下面进行简单的介绍:

    1.   若a,b都是偶数,则计算gcd(a/2,b/2)*2;  ————>因为都含有2的因数,所以同时除以2后gcd(a,b)变为原来的1/2,再乘回去
    2.        若a是偶数,b是奇数,则计算gcd(a/2,b);  ————>因为只有一个数含有2作为因数,所以除以2后gcd(a,b)不变
    3.        若a是奇数,b是偶数,则计算gcd(a,b/2);  ————>同2.
    4.        若a是奇数,b是奇数,则计算gcd(abs(x-y),min(x,y)); ————>通过相减,使其变成偶数,原理参见更相减损术其实是我懒得写

       实现:

    int stein_gcd(int x,int y){
      if(x==0)
        return y;
      if(y==0)
        return x;
      if(x%2==0&&y%2==0)
        return stein_gcd(x>>1,x>>1)*2;
      else if(x%2 ==0)
        return stein_gcd(x>>1,y);
      else if(y%2==0)
        return stein_gcd(x,y>>1);
      else
        return stein_gcd(abs(x-y),min(x,y));                                 
    }

      讲到这里,大概本期就结束了,至于没涉及到的,就是鸽了下一期的事情了

      至于下一次什么时候填坑,已经在做了

     

      

     

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