并不重要的前言
最近学习了一些数论知识,但是自己都不懂自己到底学了些什么qwq,在这里把知识一并总结起来。
也不是很难的gcd和lcm
显而易见的结论:
为什么呢?
根据唯一分解定理:
a和b都可被分解为素因子的乘积,形如:
则显而易见的有一下结论:
相乘,得:
得证
几种求gcd的算法
- 欧几里得算法(辗转相除法)
- 辗转相减法(优化:stein_gcd)
欧几里得算法
基于事实:
实现:
1 int gcd(int a, int b){ 2 return (b == 0) ? a : gcd( b , a % b) ; 3 }
简短而容易实现和记忆,非常优美
但是可能会被斐波那契数列卡住,证明或者原因鸽了回头再写
stein_gcd算法
stein_gcd本质上是对更相减损术的优化,下面进行简单的介绍:
- 若a,b都是偶数,则计算gcd(a/2,b/2)*2; ————>因为都含有2的因数,所以同时除以2后gcd(a,b)变为原来的1/2,再乘回去
- 若a是偶数,b是奇数,则计算gcd(a/2,b); ————>因为只有一个数含有2作为因数,所以除以2后gcd(a,b)不变
- 若a是奇数,b是偶数,则计算gcd(a,b/2); ————>同2.
- 若a是奇数,b是奇数,则计算gcd(abs(x-y),min(x,y)); ————>通过相减,使其变成偶数,原理参见更相减损术其实是我懒得写
实现:
int stein_gcd(int x,int y){ if(x==0) return y; if(y==0) return x; if(x%2==0&&y%2==0) return stein_gcd(x>>1,x>>1)*2; else if(x%2 ==0) return stein_gcd(x>>1,y); else if(y%2==0) return stein_gcd(x,y>>1); else return stein_gcd(abs(x-y),min(x,y)); }
讲到这里,大概本期就结束了,至于没涉及到的,就是鸽了下一期的事情了
至于下一次什么时候填坑,已经在做了逃