P4980 【模板】Polya定理

思路

polya定理的模板题，但是还要加一些优化
题目的答案就是

[frac{sum_{i=1}^n n^{gcd(i,n)}}{n} ]

考虑上方的式子怎么求

因为(gcd(i,n))肯定有很多重复，枚举(gcd(i,n))，因为(gcd(i,n))是(n)的约数，所以枚举约数

[egin{align}&sum_{d|n}^nn^dsum_{k=1}^n[gcd(n,k)=d]\=&sum_{d|n}^nn^dsum_{k=1}^{lfloorfrac{n}{d} floor}[gcd(lfloorfrac{n}{d} floor,k)=1]\=&sum_{d|n}^nn^dphi(lfloorfrac{n}{d} floor) end{align} ]

然后做完了

一个求phi的方式

(phi(i)=iprod_{p是k的质因数}(1-frac{1}{p}))

如果有(p|n)且(p^2|n)，则(phi(n)=phi(n/p) imes p)
如果有(p|n)且(p^2 ot|n)，则(phi(n)=phi(n/p) imes (p-1))

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#define int long long
using namespace std;
int n,p,t,ans=0;
int pow(int a,int b){
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%p;
        a=(a*a)%p;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int get_phi(int x){
    int ans=x;
    int top=sqrt(x+0.5);
    for(int i=2;i<=top;i++){
        if(x%i==0){
            ans=ans/i*(i-1);
            while(x%i==0)
                x/=i;
        }
    }
    if(x!=1)
        ans=ans/x*(x-1);
    return ans;
}
signed main(){
    scanf("%d",&t);
    p=1000000007;
    while(t--){
        scanf("%lld",&n);
        ans=0;
        int top=sqrt(n+0.5);
        for(int i=1;i<=top&&i*i!=n;i++){
            if(n%i==0){
                ans=(ans+pow(n,i)*get_phi(n/i)%p+pow(n,n/i)*get_phi(i)%p)%p;
            }
        }
        if(top*top==n)
            ans=(ans+pow(n,top)*get_phi(top)%p)%p;
        printf("%lld
",ans*pow(n,p-2)%p);
    }
}