斐波那契数列的两种方法
Key_Function
np.matrix函数, 创建矩阵
rint函数, 对浮点数取整, 但不改变浮点数类型
Code
import numpy as np # 第一种方法 F = np.matrix([[1, 1], [1, 0]]) print(F) ''' [[1 1] [1 0]] ''' print((F ** 7)[0, 0]) # 21 print((F ** 2)) ''' [[2 1] [1 1]] ''' print((F ** 3)) ''' [[3 2] [2 1]] ''' print((F ** 4)) ''' [[5 3] [3 2]] ''' # 第二种方法 # 利用黄金分割公式(比奈公式), 加上取整函数, 计算斐波那契数列 n = np.arange(1, 9) print(n) # [1 2 3 4 5 6 7 8] sqrt5 = np.sqrt(5) # 取开方 print(sqrt5) # 2.2360679775 phi = (1 + sqrt5) / 2 # 计算黄金分割率 print(phi) # 1.61803398875 fibonacci = np.rint((phi**n - (-1/phi)**n)/sqrt5) # rint函数, 对浮点数取整, 但不改变浮点数类型 print(fibonacci) # [ 1. 1. 2. 3. 5. 8. 13. 21.]
斐波那契数列的通项公式
通项公式
![](https://gss0.bdstatic.com/-4o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D245/sign=456a7a09b61bb0518b24b42c037ada77/503d269759ee3d6db9e6f1e046166d224f4adefd.jpg)
斐波那契数列与黄金分割率
斐波那契数列,这样一个完全是自然数的数列,通项公式却是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时,前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618(或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近0.618)。
1÷1=1,1÷2=0.5,2÷3=0.666...,3÷5=0.6,5÷8=0.625…………,55÷89=0.617977……………144÷233=0.618025…46368÷75025=0.6180339886…...
越到后面,这些比值越接近黄金比.
证明
![](https://gss1.bdstatic.com/9vo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D112/sign=20813c782e7f9e2f743519092d31e962/7acb0a46f21fbe09ea694d8a62600c338744ad7d.jpg)
两边同时除以
得到:
![](https://gss2.bdstatic.com/-fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D29/sign=e44895dd82d4b31cf43c93b286d6b808/b3b7d0a20cf431ad654acda74236acaf2fdd9890.jpg)
![](https://gss1.bdstatic.com/-vo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D110/sign=432cd7ce0533874498c52b7d610ed937/2fdda3cc7cd98d10b4e185af283fb80e7bec9073.jpg)
若
的极限存在,设其极限为x,
![](https://gss0.bdstatic.com/-4o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D38/sign=3040a406f91f3a295ec8d3c6982534b1/4afbfbedab64034fc4e4c7dea6c379310a551d38.jpg)
则
。
![](https://gss0.bdstatic.com/-4o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D185/sign=9d07f8c26959252da717190c0199032c/7dd98d1001e9390165c197e672ec54e737d19622.jpg)
所以
。
![](https://gss2.bdstatic.com/9fo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D64/sign=face99e945086e066ea83c4f03088b72/a2cc7cd98d1001e97b5611d7b10e7bec55e797fb.jpg)
由于
![](https://gss1.bdstatic.com/-vo3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D35/sign=76b89df99a13b07eb9bd560d0dd7c466/f9dcd100baa1cd11ffc168f8b012c8fcc2ce2df6.jpg)
解得
![](https://gss0.bdstatic.com/-4o3dSag_xI4khGkpoWK1HF6hhy/baike/s%3D76/sign=0f7a79bc0023dd542573a56ed0090806/0b55b319ebc4b74587c0b2cec6fc1e178b821595.jpg)
所以极限是黄金分割比。