numpy股票相关性分析与协方差

基础知识-协方差

协方差其意义：

度量各个维度偏离其均值的程度。协方差的值如果为正值，则说明两者是正相关的(从协方差可以引出“相关系数”的定义)，结果为负值就说明负相关的，如果为0，也是就是统计上说的“相互独立”。


如果正相关，这个计算公式，每个样本对（Xi, Yi）,　每个求和项大部分都是正数，即两个同方向偏离各自均值，而不同时偏离的也有，但是少，这样当样本多时，总和结果为正。下面这个图就很直观。下面转载自：http://blog.csdn.net/wuhzossibility/article/details/8087863

在概率论中，两个随机变量 X 与 Y 之间相互关系，大致有下列3种情况：

当 X, Y 的联合分布像上图那样时，我们可以看出，大致上有： X 越大  Y 也越大， X 越小  Y 也越小，这种情况，我们称为“正相关”。

当X, Y 的联合分布像上图那样时，我们可以看出，大致上有：X 越大Y 反而越小，X 越小 Y 反而越大，这种情况，我们称为“负相关”。

当X, Y  的联合分布像上图那样时，我们可以看出：既不是X  越大Y 也越大，也不是 X 越大 Y 反而越小，这种情况我们称为“不相关”。

怎样将这3种相关情况，用一个简单的数字表达出来呢？

在图中的区域（1）中，有 X>EX ，Y-EY>0 ，所以(X-EX)(Y-EY)>0；

在图中的区域（2）中，有 X<EX ，Y-EY>0 ，所以(X-EX)(Y-EY)<0；

在图中的区域（3）中，有 X<EX ，Y-EY<0 ，所以(X-EX)(Y-EY)>0；

在图中的区域（4）中，有 X>EX ，Y-EY<0 ，所以(X-EX)(Y-EY)<0。

当X 与Y 正相关时，它们的（联合）分布大部分在区域（1）和（3）中，小部分在区域（2）和（4）中，所以平均来说，有E(X-EX)(Y-EY)>0 。(可以从一维 x~N(μ,σ)的大部分的分布（-3σ-3σ）99.7%的区间取值来理解，当符合条件的X和Y区域都在这（1）（3）区间，X-EX和Y-EY的数值同大于0和小于0的居多，其乘积大于0（是一个三维立体型吧，会根据概率密度p(x)来决定该区域数值，），且其对应数值相乘(X-EX)(Y-EY)越大偏离越大)

当 X与 Y负相关时，它们的分布大部分在区域（2）和（4）中，小部分在区域（1）和（3）中，所以平均来说，有(X-EX)(Y-EY)<0 。

当 X与 Y不相关时，它们在区域（1）和（3）中的分布，与在区域（2）和（4）中的分布几乎一样多，所以平均来说，有(X-EX)(Y-EY)=0 。
所以，我们可以定义一个表示X, Y 相互关系的数字特征，也就是协方差
cov(X, Y) = E(X-EX)(Y-EY)
当 cov(X, Y)>0时，表明 X与Y 正相关；

当 cov(X, Y)<0时，表明X与Y负相关；

当 cov(X, Y)=0时，表明X与Y不相关。

这就是协方差的意义。


另外补充：

1.

求特征协方差矩阵，如果数据是3维，那么协方差矩阵是


这里只有x和y，求解得

     对角线上分别是x和y的方差，非对角线上是协方差。协方差大于0表示x和y若有一个增，另一个也增；小于0表示一个增，一个减；协方差为0时，两者独立。协方差绝对值越大，两者对彼此的影响越大，反之越小。

原文链接：https://blog.csdn.net/GoodShot/article/details/79940438

相关系数

　　相关关系是一种非确定性的关系，相关系数是研究变量之间线性相关程度的量。由于研究对象的不同，相关系数有如下几种定义方式。简单相关系数：又叫相关系数或线性相关系数，一般用字母r 表示，用来度量两个变量间的线性关系。

　　　　就是用X、Y的协方差除以X的标准差和Y的标准差。 所以，相关系数也可以看成协方差：一种剔除了两个变量量纲影响、标准化后的特殊协方差。

　　既然是一种特殊的协方差，那它：

　　1、也可以反映两个变量变化时是同向还是反向，如果同向变化就为正，反向变化就为负。

　　2、由于它是标准化后的协方差，因此更重要的特性来了：它消除了两个变量变化幅度的影响，而只是单纯反应两个变量每单位变化时的相似程度。

 

numpy求两个向量的协方差与相关系数矩阵

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

bhp = np.loadtxt('BHP.csv', delimiter=',', usecols=(6,), unpack=True)
print(bhp)
'''
[ 93.72  95.64  94.56  93.3   93.93  92.39  92.11  92.36  91.76  93.91
  94.6   93.27  94.43  96.02  95.76  94.47  94.34  92.22  88.31  89.59
  89.02  86.95  84.88  87.38  88.56  89.59  88.71  90.02  91.26  90.67]
'''

bhp_returns = np.diff(bhp) / bhp[:-1]
# bhp中相邻两项之间的差除以被减数
vale = np.loadtxt('VALE.csv', delimiter=',', usecols=(6,), unpack=True)
print(vale)
'''
[ 34.37  35.13  35.14  35.31  35.57  35.03  33.44  33.94  34.21  34.27
  34.23  33.76  34.32  34.87  34.5   33.23  33.29  32.88  31.91  32.17
  32.44  31.91  31.04  31.51  32.14  32.42  32.25  32.7   32.36  32.34]
'''
vale_returns = np.diff(vale) / vale[:-1]
# vale中相邻两项之间的差除以被减数

covariance = np.cov(bhp_returns, vale_returns)
# 使用np.cov计算股票收益率的协方差矩阵
print(covariance)
'''
[[ 0.00028179  0.00019766]
 [ 0.00019766  0.00030123]]
'''

print(covariance.diagonal())
# [ 0.00028179  0.00030123]
# 使用diagonal函数查看对角线上的元素

print(covariance.trace())
# 0.00058302354992
# 使用trace函数计算矩阵的迹,即对角线上元素之和

# 两个向量的相关系数被定义为协方差除以各自的标准差的乘积
# 相关系数的取值范围在-1到1之间
# 一组数值与自身的相关系数为1
print(covariance / (bhp_returns.std() * vale_returns.std()))
'''
[[ 1.00173366  0.70264666]
 [ 0.70264666  1.0708476 ]]
'''

print(covariance / (bhp_returns.std(ddof=1) * vale_returns.std(ddof=1)))
'''
[[ 0.96719112  0.67841747]
 [ 0.67841747  1.03392182]]
'''

# 使用corrcoef函数计算两个向量的相关系数
print(np.corrcoef(bhp_returns, vale_returns))
'''
[[ 1.          0.67841747]
 [ 0.67841747  1.        ]]
'''
# 对角线上的元素即BHP和VALE与自身的相关系数,均为1

# 如果两个股票的差值偏离了平均差值2倍于标准差的距离,则认为两只股票不同步
difference = bhp - vale
avg = np.mean(difference)
dev = np.std(difference)

print(np.abs(difference[-1] - avg) > 2 * dev)
# False

t = np.arange(len(bhp_returns))
plt.plot(t, bhp_returns, lw=1)
plt.plot(t, vale_returns, lw=2)
plt.show()