《算法导论》学习总结 — 9.第九章 中位数和顺序统计学

这一章的内容很简单，基本都是一些概念。

第i个顺序统计量:在一个由n个元素组成的集合中，第i个顺序统计量(order statistic)是该集合中第i小的元素。

最小值是第1个顺序统计量(i=1)

最大值是第n个顺序统计量(i=n)

中位数：一个中位数(median)是它所在集合的“中点元素”，当n为奇数时，i=(n+1)/2，当n为偶数是，中位数总是出现在 （下中位数）和 （上中位数）。

找最大值/最小值问题，通过比较n-1次可以得出结果。

MINIMUM(A)
1  min ← A[1]
2  for i ← 2 to length[A]
3         do if min > A[i]
4                then min ← A[i]
5  return min

如果要同时找出最大值和最小值，则比较次数最少并不是2*n-2，而是 ，我们可以将一对元素比较，然后把较大者于max比较，较小者与min比较，这样就只需要 。

如果是一般的选择问题，即找出一段序列第i小的数，看起来要比找最大值或最小值要麻烦，其实两种问题的渐进时间都是 。

首先看看这个强悍的伪代码：

RANDOMIZED-SELECT(A, p, r, i)
1  if p = r
2      then return A[p]
3  q ← RANDOMIZED-PARTITION(A, p, r)
4  k ← q - p + 1
5  if i = k          ▹ the pivot value is the answer
6      then return A[q]
7  elseif i < k
8      then return RANDOMIZED-SELECT(A, p, q - 1, i)
9  else return RANDOMIZED-SELECT(A, q + 1, r, i - k)

这个算法利用了随机化的Partition算法，这个实在第七章的随机化快排中讲到：http://www.wutianqi.com/?p=2368，不记得的可以先复习下前面的快排。

这个随机化的选择算法返回数组A[p..r]中第i小的元素。

具体实现如下：

/*
Author: Tanky Woo
Blog:   www.WuTianQi.com
About:  《算法导论》第9章 查找序列第i小的数字
*/

#include 
#include 
using namespace std;

int Partition(int *arr, int beg, int end)
{
	int sentinel = arr[end];
	int i = beg-1;
	for(int j=beg; j<=end-1; ++j)
	{
		if(arr[j] <= sentinel)
		{
			i++;
			swap(arr[i], arr[j]);
		}
	}
	swap(arr[i+1], arr[end]);

	return i+1;
}

int RandomPartition(int *arr, int beg, int end)
{
	int i = beg + rand() % (end-beg+1);
	swap(arr[i], arr[end]);
	return Partition(arr, beg, end);
}

int RandomSelect(int *a, int p, int r, int i)
{
	if(p == r)
		return a[p];
	int q = Partition(a, p, r);
	int k = q-p+1;
	if(i == k)
		return a[q];
	else if(i < k)
		return RandomSelect(a, p, q-1, i);
	else
		return RandomSelect(a, q+1, r, i-k);
}

int main()
{
    int a[] = {0, 89, 100, 21, 5, 2, 8, 33, 27, 63};
    int num = 9;
    int ith;
	cout << "序列为: ";
    for(int i=1; i<=num; ++i)
        cout << a[i] << " ";
	cout << endl;
    ith = RandomSelect(a, 1, num, 2);
	cout << "序列中第2小的数字是: " << ith << endl;
	getchar();

    return 0;
}

结果如图：

在(89, 100, 21, 5, 2, 8, 33, 27, 63)中查找第二小的数字是5. 

该算法的平均情况性能较好，并且又是随机化的，所有没有哪一种特别的输入会导致最坏情况发生。