1. 在Lingo中使用集合
4.1 集合的基本用法和lingo模型的基本要素
Lingo虽然使用方便，但是如果要解决几万个，几十万个变量的优化问题时，我们总不能一个一个地列出x1,x2,…,x1000来解决，而这样的问题在实际企业的应用中也是经常遇到的。好在Lingo中设计了集合语言来表示大规模变量的输入，只需一行文字就可以建立起含有大规模变量的目标函数和成千上万条约束。而Lingo的早期版本软件Lindo却不包含这样的功能。
现通过下例来对Lingo的集合、属性概念进行介绍。
例2 SAILCO公司需要决定决定下四个季度的帆船生产量。下四个季度的帆船需求量分别为40条，60条，75条，25条，这些需求必须按时满足。每个季度正常的生产能力是40条帆船，每条帆船的生产费用为400美元。如果加班生产，每条船的生产费用为450美元。每个季度末，每条船的库存费用为20美元。假定生产提前期为0，初始库存为10条船。如何安排生产可使总费用最小？
分析与解：用DEM、RP、OP、INV分别表示需求量，正常生产的产量，加班生产的产量，库存量。则DEM、RP、OP、INV对每个季度都应有一个对应的值，也就是说他们都应该是一个由4个元素组成的数组，其中DEM已知，而RP，OP，INV未知。现在我们可以写出该问题的模型：
此外还有各变量非负的约束。
记4个季度组成的集合，他们就是DEM、RP、OP、INV等变量的下标集合，对于，都有值与之对应。LINGO正是充分利用这种数组及其下标的关系，引入了“集合”与“属性”的概念。本例中我们把称之为集合，DEM、RP、OP、INV称为集合具有的属性(即定义在该集合上的属性)。下图表示了这种集合与属性的关系。
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集合QUARTERS的元素 |
1 |
2 |
3 |
4 |
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定义在集合QUARTERS上的属性 |
DEM |
DEM(1) |
DEM(2) |
DEM(3) |
DEM(4) |
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RP |
RP(1) |
RP(2) |
RP(3) |
RP(4) |
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OP |
OP(1) |
OP(2) |
OP(3) |
OP(4) |
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INV |
INV(1) |
INV(2) |
INV(3) |
INV(4) |
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下面我们看看Lingo中具体如何定义集合及其属性。下面是例2的Lingo代码：
Model:
Sets:
QUARTERS/1,2,3,4/:DEM,RP,OP,INV;
Endsets
Min=@sum(QUARTERS:400*RP+450*OP+20*INV);
@for(QUARTERS(I):RP(I)<=40;);
@for(QUARTERS(I)|I#GT#1:
INV(I)=INV(I-1)+RP(I)+OP(I)-DEM(I););
INV(1)=10+RP(1)+OP(1)-DEM(1);
DATA:
DEM=40,60,75,25;
Enddata
End
我们总结一下上面代码的特点：
（1）、模型以“MODEL：”开始，以“END”结束。它们之间由语句组成，可以分成三步分。
（2）、集合定义部分以“SETS：”开始，以“ENDSETS”结束。中间定义了集合和相应属性。语句“QUARTERS/1,2,3,4/:DEM,RP,OP,INV;”定义了集合QUARTERS，以及该集合的属性DEM、RP、OP、INV，其结果正是上表里面的16个变量名。可以定义空集合，比如“Empty set/1，2，3，4/;”空集合的用法将在派生集中讲述。
（3）、数据输入部分以“DATA：”开始，以“ENDDATA”结束，语句“DEM=40,60,75,25;”给出了常量DEM的值，即DEM(1)=40,DEM(2)=60，DEM(3)=75,DEM(4)=25. 语句“DEM=40,60,75,25;”也可以写成语句“DEM=40 60 75 25;”即数据之间可以用逗号或空格分开。
（4）、其他部分，给出了目标函数和约束。其中目标函数（“min=”后面所接的表达式）是用求和函数
“@sum=(集合（下标）：关于集合的属性的表达式)”
的方式定义的，这个函数的功能是对语句冒号“：”后面的表达式，按照“：”前面的集合指定的下标元素进行求和。本例中目标函数也可以写成
“Min=@sum(QUARTERS(i):400*RP(i)+450*OP(i)+20*INV(i))”
这里“@sum”相当于求和符号,而“QUARTERS(i)”相当于“”，而由于本例中已默认对所有的QUARTERS的元素求和，所以实例中可以将下标i省略。
约束是用循环函数“@for(集合（下标）：关于集合的属性的约束关系式)”的方式定义的，意思是对于“：”前面的集合的每个元素(下标)，冒号“：”后面的约束关系式都要成立。但对于这个约束，实际上I=1时要用到变量，但我们定义属性变量的时候是从I=1开始的，即是一个常数，为了区别I=1和I=2，3，4，我们要将I=1的约束单独列出来，而对I=2，3，4的约束我们对集合下标做了的约束，即用了“#GT#1”（这个限制条件与集合之间有一个竖线“|”分开，称为过滤条件），“I#GT#1”就表示，“#GT#”是lingo中的逻辑表达式。
小结一下lingo模型最基本的组成要素：
（1） 集合段：以“SETS：”开始，以“ENDSETS”结束。作用在于定义必要的集合和属性。注意一个细节，我们可以定义QUARTERS/1,2,3,4/,若QUARTERS有1000个元素，我们也不必将其一一列出，而可以简写为QUARTERS/1..1000/.
（2） 目标和约束段：这部分不像其他部分，没有段的开始和结束的标记。因此是除去其他段以外的所有语句。
（3） 数据段：以“DATA：”开始，以“ENDDATA”结束，作用在于对集合的属性输入必要的常数数据，格式为: 属性=常数列表;常数列表中的常数或以逗号“，”分开，或以空格分开“ ”.
（4） 初始段：以“INIT：”开始，以“ENDINIT”结束。作用在于对集合的属性定义初值。因为求解算法是迭代算法，所以一个好的初值可以让程序更快解决。定义初值的格式为： 属性=常数列表;
（5） 计算段：以“CALC：”开始，以“ENDCALC”结束，作用在于对一些原始数据进行计算处理，这种处理是在输入数据后，求解模型前进行的。例如，对上面的例子，如果我们希望可以得到全年的总需求和季度平均需求，可以增加这个段：
CALC:
T_DEM=@sum(QUARTERS:DEM);!总需求;
A_DEM=T_DEM/@size(QUARTERS);!平均需求;
ENDCALC
要注意的是计算段中语句是按顺序执行的，故上面的两个语句不能调换。