Deep Learning 用逻辑回归训练图片的典型步骤.
笔记摘自：https://xienaoban.github.io/posts/59595.html
1. 处理数据
1.1 向量化(Vectorization)
将每张图片的高和宽和RGB展为向量，最终X的shape为 (height*width*3, m) .
1.2 特征归一化(Normalization)
对于一般数据，使用标准化(Standardization)
- (X_{scale} = frac{(X(axis=0) - X.mean(axis=0))}{X.std(axis=0)})
z_i = (x_i - mean) / delta,mean与delta代表X的均值和标准差. 最终特征处于[-1, 1]区间.
对于图片, 可直接使用Min-Max Scaling
- 即将每个特征除以255(每个像素分为R, G, B, 范围在0~255)使得值处于[0, 1].
2. 初始化参数
一般将 w 和 b 随机选择.
3. 梯度下降(Gradient descent)
根据 w , b 和训练集，来训练数据.
- 需要设定 迭代次数 与 学习率 .
以下为大循环(迭代次数)中内容：
3.1 计算代价函数
对于(x^{(i)} in X)， 有
[z^{(i)} = w^Tx^{(i)} + b
]
[ a^{(i)} = hat{y}^{(i)} = sigmod(z^{(i)}) = sigma(z^{(i)}) = frac{1}{1 + e^{-z^{(i)}}}
]
[损失函数: {L}(a^{(i)}, y^{(i)}) = {L}(hat{y}^{(i)}, y^{(i)}) = - y^{(i)} log(a^{(i)}) - (1-y^{(i)} ) log(1-a^{(i)})
]
[A = (a^{(1)}, a^{(2)}, ... , a^{(m-1)}, a^{(m)})
= sigma(w^TX+b)
= frac{1}{1+e^{-(w^TX+b)}}
]
[代价函数: J(w,b) = -frac{1}{m} sum^{m}_{i=1} mathcal{L}(hat{y}^{(i)}, y^{(i)})
= -frac{1}{m} sum^{m}_{i=1} (y^{(i)} log(hat{y}^{(i)}) + (1-y^{(i)}) log(1-hat{y}^{(i)}))
]
# 激活函数
A = sigmoid(w.T.dot(X) + b)
# 代价函数
cost = -np.sum(Y * np.log(A) + (1-Y) * np.log(1 - A)) / m
3.2 计算反向传播的梯度
即：对 (J = -dfrac{1}{m} sum L(a, y)) 计算导数，即对({L}(a, y)) 计算导数，以下求导，均省略上标。
求：(dfrac{partial J}{partial w}) 和 $dfrac{partial J}{partial b} $ (dw 和 db)
[dfrac{partial L}{partial a}
= dfrac{partial L(a, y)}{partial a}
= -frac{y}{a} + frac{1-y}{1-a}
]
[dfrac{da}{dz}
= (frac{1}{1 + e^{-z}})'
= dfrac{e^{-z}}{(1+e^{-z})^2}
= dfrac{1}{1+e^{-z}} - dfrac{1}{(1+e^{-z})^2}
= a-a^2
= a · (1-a)
]
[dfrac{partial L}{partial z}
= dfrac{partial L}{partial a} dfrac{da}{dz}
= (-dfrac{y}{a} + dfrac{1-y}{1-a}) · a · (1-a)
= a - y
]
[dfrac{partial L}{partial w}
= dfrac{partial L}{partial z} dfrac{partial z}{partial w}
= (a-y) · x
]
[dfrac{partial L}{partial b}
= dfrac{partial L}{partial z} dfrac{partial z}{partial b}
= a-y
]
根据 (J = -dfrac{1}{m} sum L(a, y)) 最终可得：
[dfrac{partial J}{partial w}
= dfrac{partial J}{partial a} dfrac{partial a}{partial w}
= dfrac{1}{m} X(A-Y)^T
]
[dfrac{partial J}{partial b} = dfrac{1}{m} sum^{m}_{i=1} (a^{(i)} - y^{(i)})
]
dw = X.dot((A - Y).T) / m
db = np.sum(A - Y) / m
3.3 更新 w , b
w = w - learning_rate * dw
b = b - learning_rate * db
4. 预测测试集
-
使用训练出来的
w,b, 对测试集使用y_pred = sigmoid(wx+b), 计算得预测的概率 -
对其取整, 例如大于0.7则判定为 '是', 否则为'否'.