Tips: 本文中所求的最小公倍数的对象都是正数！
在求两个分数的最小公倍数之前，我们可以先来回顾一下如何求两个自然数的最小公倍数：
1. 两个自然数的最小公倍数
假设已知两个自然数a和b,求两者的最小公倍数 f(a,b):
（1） 如果两个数互质，那么易知最小公倍数为
f(a,b) = a*b;
（2）如果两个数有公约数，不妨设一共有N个公约数，每个公约数为gi(a,b) (i=1~N)， 那么可知两者的乘积 a*b，必定包含gi(a,b)，
那么最小公倍数必定为
f(a,b)= min a*b/gi(a,b); // i=1~N
设gcd(a,b) 为a和b的最大公约数， 则有
f(a,b) = a*b/gcd(a,b);
又有，如果a和b互质，那么必有gcd(a,b)=1
所以，任意两个整数a和b的最小公倍数求解公式为
f(a,b) = a*b/gcd(a,b); // a,b为任意自然数
2. 两个分数的最小公倍数
2.1 易知任意自然数都能表示成分数形式， 例如自然数a，可以表示成
a = a*N/N; // N为任意非零整数
那么求任意两个整数a和b的最小公倍数，可以转换成：
a = a*N1/N1; // N1为任意正整数 b = b*N2/N2; // N2为任意正整数 // 通分 a = a*N1*N2/ N1*N2; b = b*N2*N1/ N2*N1; //分别对分子和分母求最小公倍数 f1(a,b) = (a*N1*N2) * (b*N2*N1) / gcd(a*N1*N2, b*N1*N2); //分子最小公倍数 f2(a,b) = (N1*N2)*(N1*N2)/ gcd(N1*N2, N1*N2); // 分母最小公倍数 // 化简得 f1(a,b) = a*b*N1*N2/gcd(a,b); f2(a,b) = N1*N2; // 结果 f(a,b) = a*b / gcd(a,b);
2.2 若a和b为两个真分数，那么怎么求两者的最小公倍数方法可以参考2.1中的方法：
（1） 分别对a和b进行通分
（2） 对通分后的a和b的分子和分母分别求最小公倍数f1,f2
（3） f= f1/f2 对结果进行约分，即可得到最终结果
例如： 已知 a = 9/4 b= 4/3 ,求两者的最小公倍数 (1) 通分 a = 27/12 b = 16/12 (2) 分别求分子和分母的最小公倍数 f1 = 27*16/gcd(27,16) = 432 f2 = 12 (3) f = f1/f2= 432/12 = 36
3. 优化方法：
从上面可以看到通分这个步骤需要多次进行乘法操作，如果数字过大，则可能出现超过数据范围，能否简化，减少乘法的次数呢？
如果不通分，该怎么做呢？
(1) 对a和b的分子进行最小公倍数 f1
(2) 求a和b的分母的最小公约数g1
(3) f = f1/g1 化简之
例如： 已知 a = 9/4 b= 4/3 ,求两者的最小公倍数 // 通分法 (1) 通分 a = 27/12 b = 16/12 (2) 分别求分子和分母的最小公倍数 f1 = 27*16/gcd(27,16) = 432 f2 = 12 (3) f = f1/f2= 432/12 = 36 // 优化法 (1) f1 = 9*4/gcd(9,4) =36; (2) g1 = gcd(4,3) =1; (3) f = f1/g1 = 36
具体的理论证明略。
练习题：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1713
code如下：
1 #include <stdio.h> 2 #include <stdlib.h> 3 #include <string.h> 4 5 int la,ra,lb,rb,num,temp1,temp2,res; 6 7 int gcd(int a,int b) 8 { 9 if(a*b==0) return 0; 10 if(a%b==0) return b; 11 return gcd(b,a%b); 12 } 13 14 int main() 15 { 16 int T,i,lsa,lsb; 17 char c1,c2; 18 scanf("%d",&T); 19 while(T--) 20 { 21 scanf("%d/%d %d/%d",&la,&ra,&lb,&rb); 22 23 // 化简表达式A 24 temp1= gcd(la,ra); 25 la/=temp1; 26 ra/=temp1; 27 28 // 化简表达式B 29 temp2 = gcd(lb,rb); 30 lb/=temp2; 31 rb/=temp2; 32 33 // 求分子的最小公倍数 34 temp1 = gcd(la,lb); 35 res= la/temp1*lb; 36 37 // 求分母的最大公约数 38 temp2 = gcd(ra,rb); 39 40 // 对结果约分 41 temp1 = gcd(res,temp2); 42 res /=temp1; 43 temp2/=temp1; 44 45 if(temp2==1) printf("%d ",res); 46 else 47 printf("%d/%d ",res,temp2); 48 } 49 return 0; 50 }
转载请注明出处：http://www.cnblogs.com/double-win/ 谢谢！