• 计算机图形学 opengl版本 第三版------胡事民 第四章 图形学中的向量工具


    计算机图形学 opengl版本 第三版------胡事民 第四章  图形学中的向量工具

    一   基础

     1:向量分析和变换   两个工具  可以设计出各种几何对象

      点和向量基于坐标系定义     

      拇指指向z轴正方向    从x轴的正向握向y轴的正向,  可以分为左手和右手坐标系。

      点A到点B的位移称为向量v       则v=B-A     尾-头

      一个n维向量是一个n元组      w=(w1,w2,w3,...)

      用矩阵来表示向量  更加方便清晰

    2:向量的基本运算法则

      向量a b      标量s (实数)            a=(a1,a2,a3)   (向量的坐标表示)        b=(b1,b2,b3)    

      加法:a+b=   (a1+b1,a2+b2,a3+b3)    

      乘法:s(a)=(s*a1,s*a2,s*a3)

      有些系统中  标量s表示复数   这里不讨论

    3.   向量的线性组合

      m个向量v1,v2,v3...vm

          向量w=a1v1+a2v2+a3v3+...am+vm

      其中am为标量

      特殊的线性组合:仿射组合       凸组合

      向量的仿射组合:标量系数的和为1     且仅和标量有关

              a1+a2+a3+...+am=1

        两个向量a和b的仿射组合形式

            (1-t)a+(t)b

      向量的凸组合:标量的和为1    且   各个标量>=0

    4.向量的度量和单位向量

      w为向量

      |w|=根号下(w1^2+w2^2+w3^2+....+wn^2)      勾股定理    模为头尾两点的距离

      有时需要缩放向量   使向量的长度为一,这一过程被叫做向量的归一化     归一化的结果为单位向量

      为了得到a的归一化向量   我们可以用1/|a|数乘a

      a的单位向量=a/|a|     其中|a|!=0

      例如:a=(3,-4)     那么|a|=5     归一化的结果为a^=(3/5,-4/5)      有时我们也吧单位向量看成方向。   

      任何一个向量都可以写成:a=|a|a^        向量的模乘方向

    二.点积

    1.两个工具   点积   和叉积

      点积得到一个标量,用于二维向量

      叉积得到一个向量   用于三维向量

      a.b=a1b1+a2b2   

      定义:

      n维向量v=(v1,v2,v3...vn)         w=(w1,w2,w3...wn)

        点积d表示为v.w=v1.w1+v2.w2+...vn.wn

      性质:对称性(交换):a.b=b.a

         线性:(a+c).b=a.b+c.b

           同质性:(s.a).b=s(a.b)

           |b|.|b|=b.b

    2.两向量的夹角:

      

      b=(|b|cos∠b,|b|sin∠b)

      c=(|c|cos∠c,|c|sin∠c)

      b.c=|b|.|c|.cos∠c.cos∠b+|b|.|c|.sin∠c.sin∠b

      b.c=|b|.|c|.cos∠boc

       上式两边同时除以|b||c|

      cos(∠boc)=b^.c^           两个向量b和c之间的夹角的余弦等于归一化后向量的点积

    3.b.c的符号和正交性

      b.c>0      角度小余90度

      b.c=0  角度等于90度      此时b垂直于c    则称向量b和向量c是正交的。

      b.c<0  角度大于90度

      正交也叫直交或者垂直

      三维形式常用  叫做标准单位向量,分别称为 i         j         k

      定义:三维空间的标准单位向量有如下分量的向量

      i=(1,0,0)      j=(0,1,0)     k=(0,0,1)    也可以写成矩阵的形式

      

      任意一个三维向量如(a,b,c)都可以写成另一种形式

        (a,b,c)=ai+bj+ck

    4.二维正交向量

      a=(ax,ay)的正交向量为b(-ay,ax)       导致a.b=0    两个向量垂直   ⊥

      与a向量的正交向量有无穷多个     任何一个数成b的结果都是与a正交的

      定义:给定a=(ax,ay)    则a =(-ay,ax)    与a逆时针正交

      a像左转90度a      a想右转90度为-a

      a 的一些有趣的属性

         1.线性 ( a+b) =a +b    对任意标量A    有(Aa) =Aa 

         2.a⊥⊥ =(a ) =  - a

         3.   正交点积  a .b=axby-aybx         其中a=(ax,ay)

          a .a=0        

          |a |^2=|a|^2    两正交向量具有相同的长度

          a .b=-b .a       反对称性      例如(0,1)   和(-1,0)   为反对称性

         4.

           行列式

          

           

           上面的两个证明  将坐标带入后化简即可得到

        5.正交投影和点到直线的距离

        图形学中常出现的问题

          a  将一个向量投影到另一个向量上

          b  将一个向量分解成不同方向上的分量

          c  找到一点到另一条直线的距离

        

         k和m是待定的常数     c=kv+mv

        我们说从c到v的正交投影是kv并且点c到直线的距离是|mv| 

         求出k和m 的方法:等式两边同时乘以一个v

          c.v=kv.v+v.mv

        k=c.v/v.v

        两边同时乘以   v

        m=c.v/v⊥.v

        

        距离=m .v

        

        也等于                                           

      例题:4.3.5

      将向量c(6,4)到v=(1,2)的正交投影  并画出相关的向量

      用4.20的公式:(14/5,28/5)

      例题:4.3.6

      求点c=(6,4)到过点(1,1)和(4,9)的直线的距离

      

    6.投影的应用:反射

        

        入射角等于出射角

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