背包问题之01背包

sicily 1146 采药

还是用这题来说吧，对01背包的分析看我之前那篇就好了http://www.cnblogs.com/dominjune/p/4383762.html

这里主要是想改进一下二维数组的做法，用一维数组来实现01背包，也叫做滚动数组！

先借用某位大牛的一句话：“01背包在二维数组上操作，就是为了防止一个物品被放入多次的情况“

但其实01背包也可以用一维数组来做啦！

先看代码：

#include <iostream>

using namespace std;

int w[105], val[105];
int dp[1005];

int main()
{
    int t, m, res=-1;
    cin >> t >> m;
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        cin >> w[i] >> val[i];
    }
    for(int i=1; i<=m; i++) //物品 
        for(int j=t; j>=0; j--) //容量，逆序
        {
            if(j >= w[i])
                dp[j] = max(dp[j-w[i]]+val[i], dp[j]);
        
        }
    cout << dp[t] << endl;
    return 0;
}

这里是把状态只用一维数组来表示，dp[j]表示放到第j个物品（或者说是前j个物品）的时候的最大价值，少了一维，感觉好神奇...不过在我仅仅做过的题目中，好像有很多都是用滚动数组的形式...

好了，用回当年的辣个栗子：

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让我假设现在的背包的容量是C=10；

物品编号： 1 2 3

物品重量： 5 6 4

物品价值：20 10 12

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直接分析dp数组：

dp：0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

i=1:

dp[10] = max(dp[5]+20, dp[10]);

dp[9] = max(dp[4]+20, dp[9]);

dp[8] = max(dp[3]+20, dp[8]);

dp[7] = max(dp[2]+20, dp[7]);

dp[6] = max(dp[1]+20, dp[6]);

dp[5] = max(dp[0]+20, dp[5]);

dp: 0 0 0 0 20 20 20 20 20 20

---------------------------------------------

i=2:

dp[10] = max(dp[6]+4, dp[10]);

dp[9] = max(dp[3]+10, dp[9]);

dp[8] = max(dp[2]+10, dp[8]);

dp[7] = max(dp[1]+10, dp[7]);

dp[6] = max(dp[0]+10, dp[6]);

dp: 0 0 0 0 20 20 20 20 20 20 //看到了没，选10的都被之前的20压下去了

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i=3:

dp[10] = max(dp[6]+12, dp[10]);

dp[9] = max(dp[5]+12, dp[9]);

dp[8] = max(dp[4]+12, dp[8]);

dp[7] = max(dp[3]+12, dp[7]);

dp[6] = max(dp[2]+12, dp[6]);

dp[5] = max(dp[1]+12, dp[5]);

dp[4] = max(dp[0]+12, dp[4]);

dp: 0 0 0 12 20 20 20 20 32 32

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dp[10]就是背包容量为10的时候的最大价值，就是要求的值了，可以看到，容量大的时候的值取决于容量小的时候的值，从而不断被正确更新，所以用滚动数组的时候，j的循环必须是从大到小逆序开始的，逆序，就防止了一个物品放入多次！！！否则...........

直接分析dp数组：

dp：0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

i=1:

dp[5] = max(dp[0]+20, dp[5]);

dp[6] = max(dp[1]+20, dp[6]);

dp[7] = max(dp[2]+20, dp[7]);

dp[8] = max(dp[3]+20, dp[8]);

dp[9] = max(dp[4]+20, dp[9]);

dp[10] = max(dp[5]+20, dp[10]);

dp: 0 0 0 0 20 20 20 20 20 40 //看到问题了吗！dp[10]不仅仅是由dp[5]决定了，因为dp[5]还被dp[0]更新了一次，相当于，i=1时，即只有一个物品时，这个物品拿了两次，完全不符合01背包了，但是，这个却是我们后面要提到的完全背包！接着看：

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i=2:

dp[6] = max(dp[0]+10, dp[6]);

dp[7] = max(dp[1]+10, dp[7]);

dp[8] = max(dp[2]+10, dp[8]);

dp[9] = max(dp[3]+10, dp[9]);

dp[10] = max(dp[4]+10, dp[10]);

dp: 0 0 0 0 20 20 20 20 20 40 

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i=3:

dp[4] = max(dp[0]+12, dp[4]);

dp[5] = max(dp[1]+12, dp[5]);

dp[6] = max(dp[2]+12, dp[6]);

dp[7] = max(dp[3]+12, dp[7]);

dp[8] = max(dp[4]+12, dp[8]);

dp[9] = max(dp[5]+12, dp[9]);

dp[10] = max(dp[6]+12, dp[10]);

dp: 0 0 0 12 20 20 20 24 32 40

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（其实后面不用看都知道不对了，不过我写了就懒得删掉......）