并查集

                                                                       并查集

     并查集是一种简单的用途广泛的集合。并查集是若干个不相交集合，能够实现较快的合并和判断元素所在集合的操作。应用很多，如其求无向图的连通分量个数等。最完美的应用当属：实现Kruskar算法求最小生成树。并查集的精髓在于三个操作：初始化，查找，合并。

1.三个操作

  (1)初始化Make_Set()

   初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身(也可以根据情况而变)。

  (2)查找Find_Set(x)

   查找一个元素所在的集合，其精髓是找到这个元素所在集合的祖先！这个才是并查集判断和合并的最终依据。判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。合并两个集合，也是使一个集合的祖先成为另一个集合的祖先。

  (3)Union(x,y)

  合并两个不相交集合操作很简单，利用Find_Set找到其中两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。

2.并查集的优化

  (1)Find_Set(x)时 路径压缩
   寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？答案是肯定的，这就是路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了，如下图所示；可见，路径压缩方便了以后的查找。

 (2)Union(x,y)时按秩合并
即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。

 

简易版本

int bin[50001];

void set()       //初始化，使每个节点的祖先节点都是它本身
{
    int i;
    for(i=0;i<50001;i++)        
    {    
        bin[i]=i;        
    }    
}

int find(int x)    //查找x的祖先节点
{
    int r=x;
    while(r!=bin[r])
        r=bin[r];
    return r;    
}

void merge(int x,int y)   //合并x和y
{
    int fx,fy;
    fx=find(x);
    fy=find(y);
    if(fx!=fy)
        bin[fx]=fy;    
}

优化版本

int father[MAX];   //father[x]表示x的父节点
int rank[MAX];    //rank[x]表示x的秩


void Make_Set(int x)  //初始化集合
{
    int i;
    for(i=0;i<MAX;i++)
    { 
        father[x] = x; 
        rank[x] = 0;   
    }  
}

int Find_Set(int x)        //查找x元素所在的集合,回溯时压缩路径
{
    if (x != father[x])
    {
        father[x] = Find_Set(father[x]); //回溯时压缩路径
    }
    return father[x];
}


void Union(int x, int y)   //合并
{
    x = Find_Set(x);
    y = Find_Set(y);
    if (x == y) return;
    if (rank[x] > rank[y])   //如果x的秩大于y的秩
    {
        father[y] = x;      //y指向x
    }
    else
    {
        if (rank[x] == rank[y])
        {
            rank[y]++;
        }
        father[x] = y;
    }
}