乘积的积分
对于求和的运算，例如算术求和和定积分运算是线性的，因而满足线性叠加律，即：
[int{(f(x)+g(x))}dx=int{f(x)}dx+int{g(x)dx}
]
但是对于两个函数的乘积，却未必有类似的结论：
[int{f(x)cdot g(x)}dx
eq int{f(x)}dxcdotint{g(x)}dx
]
这点可以用下面的例子来验证,例如，我们可以取:
[f_1(x)=2x,f_2(x)=3x^2
]
可以验证，这两个函数在[0,1]的区间上都满足归一化条件，现在取这两者在[0,1]上的积分有：
[int_0^1 {2xcdot 3x^2}dx=int_0^1 6x^3 dx=3/2
eq 1=int_0^1 2xdx cdot int_0^1 3x^2 dx
]
只有当这两个乘积函数相互独立时，乘积的平均才等同于平均的乘积，这可以直接用多重积分的性质证明。
[iint_{0,0}^{1,1}{f(x)g(y)}dxdy=int{f(x)}dxcdot int{g(y)}dy
]
同样可以用例子验证，例如这里取：f(x)=2x, g(y)=3y^2
[iint_{0,0}^{1,1}{2xcdot 3y^2}dxdy=iint_{0,0}^{1,1}{6xy}dxdy=1=int_0^1 2xdx cdot int_0^1 3y^2dy
]
乘积的平均
在磁流体力学中，定义了流体元对某物理量分布A(v,r,t)的平均密度如下式[1]：
[<A>=frac{iiint A(vec{v},vec{r},t) f(vec{v},vec{r},t)dvec{v}} {iiint f(vec{v},vec{r},t)dvec{v}}=frac{1}{n}iiint{A fdvec{v}}
]
其中有f是物理量在6维几何速度空间的归一化概率分布函数，其中三维几何空间中的密度n定义如下：
[n=iiint{f(vec{v},vec{r},t)dvec{v}}
]
由于之前对积分乘积性质的证明可知，流体元的平均满足下面的规律：
[<A+B>=<A>+<B>
]
[<Acdot B>
eq <A>cdot <B>
]
只有当A，B相互独立时，上式才取等号。
参考：
[1]:J.Freidberg, "Ideal MHD"