「题解」HDU 7095 / 2021 年百度之星·程序设计大赛

你有一个数字 (x) 和若干个操作，每个操作是 (+a_i) 或者乘 ( imes a_i) 中的一种。你可以重新排列这些操作的顺序，然后对数字 (x) 执行这些操作。

比如说三个操作是 (+a_1,+a_2, imes a_3)。如果按顺序执行这三个操作，那么得到的结果是 (((x+a_1)+a_2) imes a3)。如果排列成 (+a_2, imes a_3,+a_1)，那么得到的结果是 (((x+a_2) imes a_3)+a_1)。

我们会发现，有一些操作顺序计算出来的结果是本质相同的，比如说 (+a_1,+a_2, imes a_3) 和 $+a_2,+a_1, imes a_3 $这样运算下来结果是一样的。我们认为两个操作顺序计算的结果本质相同，当且仅当无论代入什么数，计算出来的结果都是一样的。

请问有多少种本质不同的操作序列。换句话说就是最多能找到多少个操作序列，使得这些操作序列任意两个都不是本质相同的。由于答案很大，输出对 (10^9+7) 取模的结果。

在这个题目中，我们只会给出加法操作和乘法操作的个数，分别是 (n,m)，并不会给出具体的顺序和数字。容易发现，答案与具体的顺序和数字无关。

共 (T) 组询问，(1leq Tleq 10^4,1leq n,mleq 3000)．

把 (x) 个有标号球放进 (y) 个有区分非空盒子方案数 (= y! imes) 把 (x) 个有标号球放进 (y) 个无区分非空盒子方案数 (= egin{Bmatrix}x\yend{Bmatrix}y!)，设其为 (calc(x,y))。

其中 (egin{Bmatrix}x\yend{Bmatrix}) 为第二类斯特林数。

考虑枚举有 (i) 个连起来的乘法块，那么其方案数为 (calc(m,i))．

(i) 个乘法块形成了 ((i+1)) 个空隙，两边的 (2) 个可空，中间的 ((m-1)) 个非空。

(n) 个加法有三种方法：

1. 只放中间 ((m-1)) 个（钦点两个可空的都不放）：(calc(n,i-1))；

2. 钦点一个可空的为非空的，另一个不放：(calc(n,i) imes 2)；

3. 钦点两个可空的为非空的：(calc(n,i+1))．

故答案为

[sum_{i=1}^mcalc(m,i) imes(calc(n,i-1)+calc(n,i-1) imes 2+calc(n,i+1)) ]

时间复杂度为 (mathcal{O}(m^2+Tm))．

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