学习笔记：朱刘算法

树形图：

• 无环
• 除根外每个点入度为 (1) （或：每个点父节点唯一）

最小树形图问题：找出总边权和最小的树形图

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朱刘算法解决最小树形图问题。

算法流程（每次迭代）：

1. 对于除根外每个点，找出该点入边中权值最小的边，把权加到答案中。

2. 判断选出的边是否存在环。若无环，退出，找到最小树形图，若有环，继续执行步骤 3。

3. 将所有环缩点，构造一个新图，对于旧图的每条边：

   • 若这条边在环内，删去
   • 否则：若该边终点在环内，权值改为原先权值 - 该终点当前入边（在这个环上）的权： (W - W')。

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算法正确性：

1. 对于每个环而言，至少去掉一条边。

2. 对于每个环而言，必然存在一个最优解，只去一条边（若选了两条，那么把其中一条边选回环上，答案不

   会变差）。

3. 算法即在满足1、2性质的所有树形图中求最优解。

4. 选改动过的权值，若当前边 = 该终点当前选的边，那么权值换为 (0)，相当于标记已经选完；否则，选这条边相当于改变一个点的入边，可以映射到左边的一个树形图。

从某种角度上来说，朱刘算法就是带后悔的贪心。

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算法复杂度：

(O(nm))，每次迭代一次点数至少会 (-1)。

板子

(n) 是点数，(m) 是边数，(e) 结构体数组是每条边 ((u, v, w))，(ans) 是答案。

(in) 是每个点入边边权，(pre) 是每个点入边的起点编号，(id) 是缩点后的编号，(vis) 是找环辅助数组。

找环：

• 每次循环一个点 (i)，从 (v = i) 开始一直走 (pre)，直到 (vis[v]) 非空，如果走的路径构成一个环，即停下来以后 (vis[v] = i)，这样把这个环上的点赋值 (id) 即可。（网上很多找环都是 (O(n^2)) 的。。）

double inline edmonds() {
	double ans = 0;
	while (true) {
		for (int i = 1; i <= n; i++) in[i] = INF;
		memset(vis, 0, sizeof vis);
		memset(id, 0, sizeof id);
		for (int i = 1; i <= m; i++) 
			if (e[i].w < in[e[i].v]) in[e[i].v] = e[i].w, pre[e[i].v] = e[i].u;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			if (in[i] == INF && i != rt) return -1;
		col = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			if (i == rt) continue;
			ans += in[i];
			int v = i;
			while (!vis[v] && !id[v] && v != rt)
				vis[v] = i, v = pre[v];
 			if (v != rt && vis[v] == i) {
 				id[v] = ++col;
 				for (int x = pre[v]; x != v; x = pre[x]) id[x] = col;
 			}
		}
		if (!col) break;
		for (int i = 1; i <= n; i++) if (!id[i]) id[i] = ++col;
		int tot = 0;
		for (int i = 1; i <= m; i++) {
			int a = id[e[i].u], b = id[e[i].v];
			if (a == b) continue;
			e[++tot] = (E) { a, b, e[i].w - in[e[i].v] };
		}
		m = tot, n = col, rt = id[rt];
	}
	return ans;
}

模板题

AcWing 2417. 指挥网络

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 105, M = 10005;

const double INF = 1e100;

int n, m, rt = 1, X[N], Y[N], col;

double in[N];

int vis[N], id[N], pre[N];

struct E{
	int u, v;
	double w;
} e[M];

double inline edmonds() {
	double ans = 0;
	while (true) {
		for (int i = 1; i <= n; i++) in[i] = INF;
		memset(vis, 0, sizeof vis);
		memset(id, 0, sizeof id);
		for (int i = 1; i <= m; i++) 
			if (e[i].w < in[e[i].v]) in[e[i].v] = e[i].w, pre[e[i].v] = e[i].u;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			if (in[i] == INF && i != rt) return -1;
		col = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			if (i == rt) continue;
			ans += in[i];
			int v = i;
			while (!vis[v] && !id[v] && v != rt)
				vis[v] = i, v = pre[v];
 			if (v != rt && vis[v] == i) {
 				id[v] = ++col;
 				for (int x = pre[v]; x != v; x = pre[x]) id[x] = col;
 			}
		}
		if (!col) break;
		for (int i = 1; i <= n; i++) if (!id[i]) id[i] = ++col;
		int tot = 0;
		for (int i = 1; i <= m; i++) {
			int a = id[e[i].u], b = id[e[i].v];
			if (a == b) continue;
			e[++tot] = (E) { a, b, e[i].w - in[e[i].v] };
		}
		m = tot, n = col, rt = id[rt];
	}
	return ans;
}

int main() {
	while (~scanf("%d%d", &n, &m)) {
		rt = 1;
		for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d%d", X + i, Y + i);
		int tot = 0;
		for (int i = 1; i <= m; i++) {
			int a, b; scanf("%d%d", &a, &b);
			e[++tot] = (E) { a, b, sqrt(((LL)X[a] - X[b]) * (X[a] - X[b]) + ((LL)Y[a] - Y[b]) * (Y[a] - Y[b])) };
		}
		m = tot;
		double res = edmonds();
	 	if (res == -1) puts("poor snoopy");
	 	else printf("%.2f
", res);	
	}
	return 0;
}

模板题 2

落谷 P4716 【模板】最小树形图

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

typedef long long LL;

const int N = 105, M = 10005, INF = 1e9;

int n, m, rt = 1, X[N], Y[N], col, in[N];

int vis[N], id[N], pre[N];

struct E{
	int u, v, w;
} e[M];

int inline edmonds() {
	int ans = 0;
	while (true) {
		for (int i = 1; i <= n; i++) in[i] = INF;
		memset(vis, 0, sizeof vis);
		memset(id, 0, sizeof id);
		for (int i = 1; i <= m; i++) 
			if (e[i].w < in[e[i].v]) in[e[i].v] = e[i].w, pre[e[i].v] = e[i].u;
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			if (in[i] == INF && i != rt) return -1;
		col = 0;
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			if (i == rt) continue;
			ans += in[i];
			int v = i;
			while (!vis[v] && !id[v] && v != rt)
				vis[v] = i, v = pre[v];
 			if (v != rt && vis[v] == i) {
 				id[v] = ++col;
 				for (int x = pre[v]; x != v; x = pre[x]) id[x] = col;
 			}
		}
		if (!col) break;
		for (int i = 1; i <= n; i++) if (!id[i]) id[i] = ++col;
		int tot = 0;
		for (int i = 1; i <= m; i++) {
			int a = id[e[i].u], b = id[e[i].v];
			if (a == b) continue;
			e[++tot] = (E) { a, b, e[i].w - in[e[i].v] };
		}
		m = tot, n = col, rt = id[rt];
	}
	return ans;
}

int main() {
	scanf("%d%d%d", &n, &m, &rt);
	int tot = 0;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int a, b, c; scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
		if (b != rt && a != b) e[++tot] = (E) { a, b, c };
	}
	m = tot;
	printf("%d
", edmonds());
	return 0;
}