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Description
三塔汉诺塔问题,给一个 (3 imes 3) 的矩阵 (t),(t_{i, j}) 表示从 (i) 塔移动一个盘子到 (j) 塔的花费。
初始状态 (n) 个盘子都在第一个盘子,要求将所有的移到第三个盘子,求最小花费。
Solution
显然可以间接移动,花费有可能更优,先用 Floyd 算法算出从 (i) 间接 / 直接移动到 (j) 的最小花费,设 (d_{i,j}) 表示从 (i) 到 (j) 的最小花费。
显然无后效性,考虑 (dp)。
状态设计
设 (f_{i,a,b}) 表示将 (i) 个盘子从 (a) 移动到 (b) 的最小花费。
初始状态
(f_{1, a, b} = d_{a,b}) 其余为正无穷
状态转移
不妨设另外一个盘子为 (c)。
先把 (n) 个盘子看做两个整体:第 (n) 个盘子和 (n - 1) 个盘子,这样可以 DP 了。
通过观察发现有两个可能成为最优的转移方式:
- 将 (n - 1) 个盘子 (a Rightarrow c),第 (n) 个盘子 (a Rightarrow b),然后再把 (n - 1) 个盘子 (c Rightarrow b)。
- (n - 1) 个盘子 (a Rightarrow b),第 (n) 个盘子 (a Rightarrow c),(n - 1) 个盘子 (b Rightarrow a),第 (n) 个盘子 (c Rightarrow b),(n - 1) 个盘子 (a Rightarrow b)。
其他的转移一定是这两种 + 反复横跳形成的。
将上面的方式翻译一下,即:
-
(f_{i, a, b} gets f_{i - 1, a,c} + t_{a,b} + f_{i - 1, c, b})
-
(f_{i, a, b} gets f_{i - 1, a,b} + t_{a,c} + f_{i - 1, b, a} + t_{c,b} + f_{i - 1, a, b})
值得注意的是这里不能用 (d),因为其他盘子不是空的,不能作为间接量。
时间复杂度
(O(N))
Tips
注意开 long long !
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 45;
typedef long long LL;
int t[3][3], g[3][3], n;
LL f[N][3][3];
int main() {
for (int i = 0; i < 3; i++)
for (int j = 0; j < 3; j++) scanf("%d", &t[i][j]), g[i][j] = t[i][j];
scanf("%d", &n);
for (int k = 0; k < 3; k++)
for (int i = 0; i < 3; i++)
for (int j = 0; j < 3; j++)
t[i][j] = min(t[i][j], t[i][k] + t[k][j]);
memset(f, 0x3f, sizeof f);
for (int i = 0; i < 3; i++)
for (int j = 0; j < 3; j++)
f[1][i][j] = t[i][j];
for (int i = 2; i <= n; i++) {
for (int a = 0; a < 3; a++) {
for (int b = 0; b < 3; b++) {
if (a == b) continue;
int c = 3 - a - b;
f[i][a][b] = min(f[i - 1][a][c] + g[a][b] + f[i - 1][c][b], f[i - 1][a][b] + g[a][c] + f[i - 1][b][a] + g[c][b] + f[i - 1][a][b]);
}
}
}
printf("%lld
", f[n][0][2]);
return 0;
}