模式识别第一次作业

1.1

(a)由题意：(frac{8a-1}{3}geq 0)得：(ageq frac{1}{8})

(b)答案为1

(c)考虑将分母中的(3)消去：当(a=frac{1}{2})时，答案为1，当(a=2)时，答案为(sqrt{5})，当(a=5)时，答案为(sqrt{13})。猜想：解为(sqrt{frac{8a-1}{3}})

(d)octave中返回1.21825 + 0.12600i

(e)由于三次方根存在三个，而原始程序中保留的是x轴正方向开始逆时针旋转的第一个向量。正确答案为1.2910。通过程序验证，猜想正确。

(f)证明：设(x=frac{1}{2}sqrt{frac{8a-1}{3}})，(y=frac{1}{2})，则原式(=((x+y)^3)^{frac{1}{3}}-((x-y)^3)^{frac{1}{3}}=2x)

(g)((2+sqrt{5})^{frac{1}{3}}+(2-sqrt{5})^{frac{1}{3}}=(frac{sqrt{5}+1}{2})^{3*frac{1}{3}}+(frac{sqrt{5}-1}{2})^{3*frac{1}{3}}=sqrt{5})

(h)无论是Cardano用于解三次方程的方法还是本问题的方法本质都是构造，三次根号里面的式子结构一样，只是前者更巧妙一些，而本题是靠从简单到一般推出来的。

2.1

(a)根据投影定义：(Vert oldsymbol x_perpVert=frac{oldsymbol x^T oldsymbol y}{Vert oldsymbol x Vert}=frac{(sqrt {3},1)^T( 1, sqrt{3})}{2}=sqrt{3})，且(oldsymbol x_perp)与(oldsymbol y)同向，故：$ oldsymbol x_perp=(frac{sqrt{3}}{2},frac{3}{2})$

(b) (ecause) $ oldsymbol y^T(oldsymbol x- oldsymbol x_perp)=(1,sqrt{3})^T(frac{sqrt{3}}{2},-frac{1}{2})=0$ ( herefore) $ oldsymbol yperp (oldsymbol x- oldsymbol x_perp)$

(c)

(d)由题意知，当(oldsymbol x_perp=lambda oldsymbol y)时，不等式取等号，当(oldsymbol x_perp eq lambda oldsymbol y)时，根据c题中的图，向量(oldsymbol x- oldsymbol x_perp)、(oldsymbol x_perp-lambda oldsymbol y)、(oldsymbol x-lambda oldsymbol y)构成一个直角三角形，且(oldsymbol x-lambda oldsymbol y)为斜边，因此(Vert oldsymbol x- oldsymbol x_perpVert<Vert oldsymbol x- lambdaoldsymbol yVert)，综上所述：

[Vert oldsymbol x- oldsymbol x_perpVert leq Vert oldsymbol x- lambdaoldsymbol yVert2.1 ]

2.2

(a)由于正定矩阵的特征值全部为正数，因此(X)为正定矩阵的充要条件为(x>0)

(b)根据公式(det(X)=Pi_{i=1}^{n}lambda_i)，即(X)的行列式为其所有特征值之积，因此(1*1*3*4*x=72)得：(x=6)

2.6

(a)(E(X)=int_{-infty}^{+infty}x*f(x)dx=int_{-infty}^{+infty}eta xe^{-eta x}dx=int_{0}^{+infty}eta xe^{-eta x}dx=frac{1}{eta})（分步积分）

(D(X)=E(X^2)-(EX)^2=int_{0}^{+infty}eta xe^{-eta x^2}dx-frac{1}{eta^2}=frac{1}{2}-frac{1}{eta^2})

(b)由(F(x)=P(Xle x)=int_{-infty}^{x}p(x)dx)得，(x<=0)时，(F(x)=0)

(x>0)时，(F(x)=int_{0}^{x}f(x)dx=int_{0}^{x}eta e^{-eta x}dx=1-e^{-eta x})，故：

[egin{equation} F(x)=left{ egin{aligned} &0 ,xleq0 \ &1-e^{-eta x},x>0\ end{aligned} ight. end{equation} ]

(c)(P_r(Xgeq a+b|Xgeq a)=frac{P_r(Xgeq a+b,Xgeq b)}{P_r(Xgeq a)}=frac{P_r(Xgeq a+b)}{P_r(Xgeq a)}=frac{1-F(a+b)}{1-F(a)}=e^{-bx}),(P_r(xgeq b)=1-F(b)=e^{-bx}),因此(P_r(Xgeq a+b|Xgeq a)=P_r(xgeq b))

(d)根据(a)中的计算，灯泡期望的寿命为1000小时，根据(c)中证明的指数分布无记忆性可知，灯泡虽然使用了2000小时，但其剩余寿命的期望仍然是1000小时。

2.10 证明凹凸函数采用引理：判断函数二阶导数的正负

(a)(f(x)^{''}=a^2e^{ax}geq 0)，故对任意实数(ain R，)f(x)$为凸函数

(b)(f(x)^{''}=-frac{1}{x^2})，对于(x>0)，二阶导数恒负，故在该范围内是凹函数

(c)(h(x)^{''}=frac{1}{x})，在(xgeq 0)时二阶导数非负，因此函数在该范围内为凸函数。

(d)设L函数：(L(p_1,p_2,...,p_n,lambda)=-sum_{i=1}^{n}p_ilog_2p_i+lambda(sum_{i=1}^{n}p_i-1))（根据离散分布概率和为1），分别对(p_i)以及(lambda)求导得：

[egin{equation}left{egin{aligned} &lambda = log_2p_i+frac{1}{ln 2},i=1,2,...,n \&p_1+p_2+...+p_n=1 end{aligned} ight.end{equation} ]

解得：(p_1=p_2=...=p_n=frac{1}{n})，此时得到(H)最大值为(-sum_{i=1}^{n}frac{1}{n}log_2 frac{1}{n}=log_2n)