简介：
ARIMA模型：(英语：Autoregressive Integrated Moving Average model)，差分整合移动平均自回归模型，又称整合移动平均自回归模型(移动也可称作滑动)，是时间序列预测分析方法之一。AR是“自回归”，p为自回归项数;MA为“滑动平均”，q为滑动平均项数，d为使之成为平稳序列所做的差分次数(阶数)。
由于毕业论文要涉及到时间序列的数据(商品的销量)进行建模与分析，主要是对时间序列的数据进行预测，在对数据进行简单的散点图观察时，发现数据具有季节性，也就是说：数据波动呈现着周期性，并且前面的数据会对后面的数据产生影响，这也符合商品的销量随时间波动的影响。于是选择了ARIMA模型，那为什么不选择AR模型、MA模型、ARMA模型???
于是，通过这篇博客，你将学到：
(1)通过SPSS操作ARIMA模型
(2)运用python进行白噪声数据判断
(3)为什么差分，怎么定阶
PS：在博客结尾，会附录上Python进行ARIMA模型求解的代码。
为什么会使用SPSS?
由于真香定理，在SPSS里有ARIMA、AR、MA模型的各种操作;还包括异常值处理，差分，白噪声数据判断，以及定阶。 一种很方便又不用编程还可以避免改代码是不是很爽…
ARIMA模型的步骤
好啦，使用ARIMA模型的原因：
在过去的数据对今天的数据具有一定的影响，如果过去的数据没有对如今的数据有影响时，不适合运用ARIMA模型进行时间序列的预测。
使用ARIMA进行建模的步骤：
简单来说，运用ARIMA模型进行建模时，主要的步骤可以分成以下三步：
(1)获取原始数据，进行数据预处理。(缺失值填补、异常值替换)
(2)对预处理后的数据进行平稳性判断。如果不是平稳的数据，则要对数据进行差分运算。
(3)将平稳的数据进行白噪声检验;如果不是白噪声数据，则说明数据之间仍然有关联，需要进行ARIMA(p,d,q)重新定阶：p、q。
(4)当最后检验的数据是白噪声数据，模型结束。
接下来，就是用SPSS与Python进行实操。
1 原始数据预处理
首先数据来源是：2019年华中赛数学建模B题的数据。通过对一部分数据进行筛选后得到了可以运用模型建立的数据。如下图所示：
当然我们在拿到新的数据后，需要对数据进行缺失值填补，以及异常值判断。这里不再展示预处理的相关操作。下面有对应的操作链接：
缺失值填补：https://jingyan.baidu.com/article/d8072ac456536bec95cefdb6.html
异常值处理：https://wenku.baidu.com/view/bd0289ca6d85ec3a87c24028915f804d2b1687aa.html?fr=search
2 平稳性检验
在获取了预处理后的数据后，我们就可以进行下一步平稳性检验;简单来说，平稳性也就是时间序列的数据是不是在某一数据上下波动，转化成数学术语就是：均值和反差不会随着时间变化而变化。于是可以使用SPSS画出数据的散点图，然后通过散点图的图像显示来判断是否是平稳性数据，如果不是平稳的数据就需要进行差分。
观察图像可以看出，原始数据是有很弱的季节性，但是数据是非平稳的。从2018年12月份，商品号SS73210销量就明显下降，而不是在某一确定值上下波动。于是，对数据使用一阶差分。
为什么差分? 处理非平稳的数据，消除其相关性使其变成平稳性数据。
差分后的数据为：
同时，在我们获取了相应的平稳的数据后，要进行白噪声检验。
下面是获取差分后的数据值，然后与运用Python进行运算。
最终，获取一阶差分后的数据：SS73210_1
3 白噪声检验
获取了差分后的数据SS73210_1后，运用Python进行白噪声检验，要进行白噪声检验的目的：检验围绕某一条线上下波动的时间序列数据是不是随机上下波动的。
(白噪声数据：随机数据,Sig>0.05,则是白噪声序列，则历史的数据不能对未来进行预测和推断，及残差的ACF在置信区间内，可以认为等于0，过去的数据影响到今日的数据的这部分数据，这份信息已经被这个模型给提取出来了。)
接下来就是运用Python进行对序列的白噪声判断：
'''
1.实现一阶差分的白噪声数据的判断
'''
import pandas as pd
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox as lb
path = 'D:/Python/Python_learning/HBUT/预处理/ARIMA.xlsx'
df1 = pd.read_excel(path)
p_value = lb(df1, lags= 1)
print('白噪声检验p值：', p_value)
检验结果：
白噪声检验p值： (array([28.53145736]), array([9.21884666e-08])
结果分析：原假设为数据是白噪声的数据，由于模型检验的p值为9.21884666e-08小于0.05，为小概率事件，认为原假设成立不是白噪声数据。所以需要运用ARIMA模型进行重新定阶。
4 重新定阶
ARIMA模型的定阶有两个参数p,q，一般可以通过具体的自相关，偏相关图的截尾来确定阶数，这里使用SPSS的操作进行自己定阶，然后通过显著性sig参数来判断模型定阶后的参数是够可靠。
1：这里有SPSS自动的操作：“专家建模器”
2 ：也可以通过方法 “ARIMA模型” 进行自定义参数p,d,q的阶数。
我这里选择的模型的参数p,d,q都为1，也就是进行一阶差分，p(自回归项数)与q(滑动平均项数)都为1。
下面是使用了上面的模型后的模型结果：
从图像可以看出运用了ARIMA模型(1，1，1)后，显著性为0.135是大于0.05，认为此模型的数据为白噪声的数据，也就是说，过去的数据影响到今日的数据的这部分数据，这份信息已经被这个模型给提取出来了。
再通过残差ACF与残差PACF也是用来看相关性，如果大部分的数据是处于两条线之间的，说明之间的数据是弱相关，几乎没有什么相关性，影响程度的信息已经被提取了。
PS：编写Python，进行参数定阶
'''
#相对最优模型(p,q)
data_ = data_.astype(float) #销量转为float类型
#定阶
pmax = int(len(D_data)/30) #一般阶数不超过length/10
qmax = int(len(D_data)/30) #一般阶数不超过length/10
bic_matrix = [] #bic矩阵
for p in range(pmax+1):
tmp = []
for q in range(qmax+1):
try: #存在部分报错，所以用try来跳过报错。
tmp.append(ARIMA(data_, (p, 1, q)).fit().bic)
except:
tmp.append(None)
bic_matrix.append(tmp)
bic_matrix = pd.DataFrame(bic_matrix) #从中可以找出最小值
p, q = bic_matrix.stack().idxmin() #先用stack展平，然后用idxmin找出最小值位置。
print(u'BIC最小的p值和q值为：%s、%s' %(p, q))
'''
5 预测
在选好了参数后，我们需要运用模型进行后来5天的销量进行预测。
这里运用Python进行预测：
# 选取好p,q后进行ARIMA预测
model = ARIMA(data_, (p,1,q) ).fit() # 建立ARIMA(1, 1, 1)模型
model.summary2() # 给出一份模型报告
r = model.forecast(5) # 做出未来五天的预测结果
pro_r = r[0]
预测结果：
做出未来五天的预测结果:
[ 9.49325086 9.25931922 10.35808756 8.96617407 9.23941594]
我这里也加上了完整的ARIMA算法的Python的代码：
# -*- coding: utf-8 -*-
# @Time : 2020/4/3 22:50
'''
1.运用模型：ARIMA
'''
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns #seaborn画出的图更好看，且代码更简单，缺点是可塑性差
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf #自相关图
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller as ADF #平稳性检测
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_pacf #偏自相关图
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_ljungbox #白噪声检验
from statsmodels.tsa.arima_model import ARIMA #引入ARIMA模型
#seaborn 是建立在matplotlib之上的
#文件的导入，和data的选取。
inputfile = 'D:/Python/Python_learning/HBUT/model_3/test_four.xlsx'
data = pd.read_excel(inputfile ,sheet_name= 'Sheet2', index_col = '日期')
print(data.head())
print(data[-5:])郑州好的妇科医院 http://www.zzkedayy.com/
data_1 = data['SS81346']; data_2 = data['SS81004']
data_3 = data['SS73210']; data_4 = data['SS81516']; data_5 = data['SS81376']
data_ = data_5
#seaborn设置背景
sns.set(color_codes=True)
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] #用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False #用来正常显示负号
plt.rcParams['figure.figsize'] = (8, 5) #设置输出图片大小
#自相关图
#自相关图显示自相关系数长期大于零，说明时间序列有很强的相关性
f = plt.figure(facecolor='white')
ax1 = f.add_subplot(1, 1, 1)
data_drop = data_.dropna() #将数据data dropna()
plot_acf(data_drop, lags=31, ax=ax1)
#平稳性检查
print(u'原始序列的ADF检验结果为：')
print(ADF(data_)) #通过导入的ADF模块返回销量的平稳性检查
#单位根统计量对应的p的值显著大于0.05，最终判断该序列是非平稳序列
#1阶差分后的时序图
f = plt.figure(facecolor='white')
ax2 = f.add_subplot(1, 1, 1)
D_data = data_.diff().dropna() #1阶差分，丢弃na值
D_data.plot(ax = ax2)
print(u'一阶差分序列的ADF检验结果为：')
print(ADF(D_data))
#输出p值远小于0.05，所以1阶差分之后是平稳非白噪声序列
#绘制一阶差分前后的图像
f = plt.figure(facecolor='white')
ax3 = f.add_subplot(2, 1, 1)
plot_acf(D_data, lags=31, ax=ax3) #自相关
ax4 = f.add_subplot(2, 1, 2)
plot_pacf(D_data, lags=31, ax=ax4) #偏相关
p = 1
q = 1
#选取好p,q后进行ARIMA预测
model = ARIMA(data_, (p,1,q) ).fit() #建立ARIMA(1, 1, 1)模型
model.summary2() #给出一份模型报告
r = model.forecast(5) #做出未来五天的预测结果
pro_r = r[0]
print('做出未来五天的预测结果:')
print(pro_r)
#添加预测值到图像上
pre_data = pd.Series(pro_r, index=['2019/03/13', '2019/03/14', '2019/03/15', '2019/03/16', '2019/03/17'], name='SS81346')
pre_data.index.name = '日期'
#绘图
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1, 1, 1)
ax.plot(data_, 'k', label='one')
ax.plot(pre_data,'r', label='two')
ax.set_title('商品： SS81376')
ax.set_xlabel('日期')
ax.set_ylabel('销量')
ax.set_xticks(['2018/09/01', '2018/10/01', '2018/11/01',
'2018/12/01', '2019/01/01', '2019/02/01', '2019/02/28', '2019/03/18'])
plt.show()
得出图像
从图像可以看出，黑色部分的数据是原有的数据，红色的数据为销量预测的数据，可以看出预测的后5天的数据具有很好的效果，也能够很好的反映模型的预测能力。