[学习笔记]后缀相关算法

SA

SA实际上求出两个数组\(sa,rk\)。

\(sa_i\)表示将所有后缀排序后排名第\(i\)小的后缀的编号，\(rk_i\)表示后缀\(i\)的排名。

满足其性质\(sa_{rk_i} = rk_{sa_i} = i\)

这里仅给出一个\(O(nlog^2n)\)的做法。

其他做法参见\(oiwiki\)。

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bool cmp(int i,int j){
	if(rk[i]!=rk[j]){
		return rk[i]<rk[j];
	}else{
		int ri,rj;
		ri=i+k<n?rk[i+k]:-1;
		rj=j+k<n?rk[j+k]:-1;
		return ri<rj;
	}
}

void calc(){
	for(int i=0;i<n;i++){
		rk[i]=s[i];
		sa[i]=i;
	}
	for(k=1;k<n;k*=2){
		sort(sa,sa+n,cmp);
		tmp[sa[0]]=0;
		for(int i=0;i<n-1;i++){
			tmp[sa[i+1]]=tmp[sa[i]]+cmp(sa[i],sa[i+1]);
		}
		for(int i=0;i<n;i++){
			rk[i]=tmp[i];
		}
	}
}

很多情况下我们都要求出辅助数组\(height\)数组。

\(height_i = lcp(sa_i,sa_{i - 1})\)

其有引理\(height_{rk_{i - 1}} + 1 \leq height_{rk_{i}}\)

所以根据该引理，维护一个指针即可\(O(n)\)求出其。

点击查看代码

for (i = 1, k = 0; i <= n; ++i) {
  if (rk[i] == 0) continue;
  if (k) --k;
  while (s[i + k] == s[sa[rk[i] - 1] + k]) ++k;
  height[rk[i]] = k;
}

其应用大概有：

两个子串最长公共前缀

\(lcp(sa_i,sa_j) = \min{heaight_{i + 1...j}}\)

不同子串数目

\(\frac{n(n+1))}{2} - \sum_{i = 2}^n height_i\)

连续的相同子串([NOI2016] 优秀的拆分)：

考虑枚举长度然后设置关键点。
若存在\(AA\)，则\(AA\)一定跨越两个关键点，枚举两关键点，其一定有\([1,x][1,y]\)的后缀最长公共子串加\([x,n][y,n]\)的前缀最长公共子串大于枚举长度。
配合图食用。

搭配其他数据结构

略。

SAM

SAM是一个接受字符串\(S\)的所有后缀的最小DFA。
其也是对于将所有子串插入trie里的trie图压缩的结果。

子串的性质

\(S\)的子串和从\(t_0\)出发的任意路径对应。

一些概念和性质

结束位置 endpos

考虑字符串的任意非空子串，我们记\(endpos(t)\)为其所有的结束位置。

考虑按\(endpos(t)\)分成若干等价类。

显然，\(SAM\)的每个状态对应等价类。

引理1：字串两个子串为\(u\),\(w\)，其\(endpos\)相同，长度小的总为长度长的后缀。

引理2：每个等价类的元素子串的长度连续，且后缀关系传递。

后缀链接 \(link\)

考虑\(SAM\)中的某个不是\(t_0\)的状态\(v\)，我们已经知道，状态\(v\)其对应子串均为其代表等价类的最长串(\(T\))的后缀，我们设\(S = suffix(T)\),其等价类\(v\)的后缀链接连向\(\max len(S) (endpos(S)\neq endpos(T))\)对应\(S\)的等价类。

我们设\(endpos(t_0) = {-1,0,....,|S| - 1}\)

引理3：所有后缀链接构成一颗根节点为\(t_0\)的树，其上子节点的\(endpos\)是父节点的\(endpos\)的子集。

后缀自动机建法

考虑增量建法。

考虑已经维护了\(S\)的后缀自动机，现在要加入一个字符\(c\)，考虑如何维护：

\(len\)为其对应等价类里的最长长度。

带图的建树过程。

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ll nod = 1,lst = 1;

inline void insert(int c){
	int p = lst,q = ++nod;lst = q;
	len[q] = len[p] + 1,f[q] = 1;
	while(!ch[p][c] && p != 0){//向上找 
		ch[p][c] = q;
		p = link[p];
	} 
	if(p == 0)
	link[q] = 1;
	else{
		int x = ch[p][c];
		if(len[p] + 1 == len[x]){
			link[q] = x;
		}else{
			int y = ++ nod ;//复制一个新节点
			link[y] = link[x];
			link[x] = link[q] = y;
			len[y] = len[p] + 1;
			std::memcpy(ch[y],ch[x],sizeof(ch[x])); 
			while(p != 0 && ch[p][c] == x){
				ch[p][c] = y;
				p = link[p];
			}
		}
	}
}