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写在前面
2D图像常见的坐标变换如下图所示：
这篇文章不包含透视变换（projective/perspective transformation），而将重点放在仿射变换（affine transformation），将介绍仿射变换所包含的各种变换，以及变换矩阵该如何理解记忆。
仿射变换：平移、旋转、放缩、剪切、反射
仿射变换包括如下所有变换，以及这些变换任意次序次数的组合：
平移（translation）和旋转（rotation）顾名思义，两者的组合称之为欧式变换（Euclidean transformation）或刚体变换（rigid transformation）；
放缩（scaling）可进一步分为uniform scaling和non-uniform scaling，前者每个坐标轴放缩系数相同（各向同性），后者不同；如果放缩系数为负，则会叠加上反射（reflection）——reflection可以看成是特殊的scaling；
刚体变换+uniform scaling 称之为，相似变换（similarity transformation），即平移+旋转+各向同性的放缩；
剪切变换（shear mapping）将所有点沿某一指定方向成比例地平移，语言描述不如上面图示直观。
各种变换间的关系如下面的venn图所示：
通过变换矩阵可以更清晰地看出这些变换间的关系和区别。
变换矩阵形式
没有平移或者平移量为0的所有仿射变换可以用如下变换矩阵描述：
不同变换对应的a,b,c,da,b,c,d约束不同，排除了平移变换的所有仿射变换为线性变换（linear transformation），其涵盖的变换如上面的venn图所示，其特点是原点位置不变，多次线性变换的结果仍是线性变换。
为了涵盖平移，引入齐次坐标，在原有2维坐标的基础上，增广1个维度，如下所示：
所以，仿射变换的变换矩阵统一用 ⎡⎣⎢ad0be0cf1⎤⎦⎥[abcdef001]来描述，不同基础变换的a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f约束不同，如下所示：
此外，旋转和平移相乘得到刚体变换的变换矩阵，如下，有3个自由度（θ,tx,tyθ,tx,ty），这里旋转方向为逆时针方向，因此与上图中的正负号不同，
再乘上uniform scaling得到相似变换，有4个自由度（s,θ,tx,tys,θ,tx,ty），如下：
自然，仿射变换的变换矩阵有6个自由度（a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f）。
变换矩阵的理解与记忆
坐标系由坐标原点和基向量决定，坐标原点和基向量确定了，坐标系也就确定了。
对于坐标系中的位置(x,y)(x,y)，其相对坐标原点在[1,0][1,0]方向上的投影为xx，在[0,1][0,1]方向上的投影为yy——这里投影的意思是过(x,y)(x,y)做坐标轴的平行线与坐标轴的交点到原点的距离，即(x,y)(x,y)实际为：
当坐标系变化，坐标系中的点也跟着变化，但点相对新坐标系（x′−y′x′−y′坐标系）的位置不变仍为(x,y)(x,y)，以旋转变换为例，新坐标轴的基向量则变为[cos(θ),sin(θ)][cos(θ),sin(θ)]和[−sin(θ),cos(θ)][−sin(θ),cos(θ)]，所以点变化到新位置为：
新位置和新基向量是相对绝对坐标系(x−yx−y坐标系）而言的。其他变换矩阵同理。
总结一下：
- 所有变换矩阵只需关注一点：坐标系的变化，即基向量和原点的变化；
- 坐标系变化到哪里，坐标系中的所有点也跟着做同样的变化；
- 坐标系的变换分为 基向量的变化 以及 坐标原点的变化，在仿射变换矩阵 ⎡⎣⎢ad0be0cf1⎤⎦⎥[abcdef001]中， [ad][ad]和[be][be]为新的基向量，[cf][cf]为新的坐标原点，先变化基向量，再变化坐标原点；
这时再对照上面的各种变换矩阵，就很好理解了。
变换矩阵的参数估计
如果给定两个对应点集，如何估计指定变换矩阵的参数？
一对对应点可以列两个线性方程，多个对应点可以列出线性方程组，为了求解参数，需要的对应点数至少为自由度的一半，多个点时构成超定方程组，可以基于最小二乘或者SVD分解等方法进行求解，这里不再展开。