leetcode刷题1：分治算法

Leetcode刷题1：分治算法

主要思想

分治算法的主要思想是将原问题递归地分成若干个子问题，直到子问题满足边界条件，停止递归。将子问题逐个击破(一般是同种方法)，将已经解决的子问题合并，最后，算法会层层合并得到原问题的答案。

分治算法的步骤

分：递归地将问题分解为各个的子问题(性质相同的、相互独立的子问题)；
治：将这些规模更小的子问题逐个击破；
合：将已解决的子问题逐层合并，最终得出原问题的解；

分治法适用的情况

原问题的计算复杂度随着问题的规模的增加而增加。
原问题能够被分解成更小的子问题。
子问题的结构和性质与原问题一样，并且相互独立，子问题之间不包含公共的子子问题。
原问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解。

算法应用

leetcode169. 多数元素

题目描述:

给定一个大小为 n 的数组，找到其中的众数。众数是指在数组中出现次数大于 [n/2] 的元素。
你可以假设数组是非空的，并且给定的数组总是存在众数。

示例 1:

输入: [3,2,3]
输出: 3

示例 2:

输入: [2,2,1,1,1,2,2]
输出: 2

解题思路

1.确定切分的终止条件,直到所有的子问题都是长度为 1 的数组，停止切 分。
2.准备数据，将大问题切分为小问题:
递归地将原数组二分为左区间与右区间，直到最终的数组只剩下一个元素，将其返回
3.处理子问题得到子结果，并合并
长度为 1 的子数组中唯一的数显然是众数，直接返回即可。
如果它们的众数相同，那么显然这一段区间的众数是它们相同的值。
如果他们的众数不同，比较两个众数在整个区间内出现的次数来决定该区间的众数

代码

考虑分割后进行递归

class Solution(object):
    def majorityElement2(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]#数据格式为整数构成的列表
        :rtype: int
        """
        # 【不断切分的终止条件】
        if not nums:
            return None
        if len(nums) == 1:
            return nums[0]
        # 【准备数据，并将大问题拆分为小问题】递归
        left = self.majorityElement(nums[:len(nums)//2])
        right = self.majorityElement(nums[len(nums)//2:])
        # 【处理子问题，得到子结果】
        # 【对子结果进行合并 得到最终结果】
        if left == right:#如果两个子树长度相同，则返回其中一个
            return left
        if nums.count(left) > nums.count(right):#比较该数在整个列表中出现的次数
            return left
        else:
            return right 

53. 最大子序和

题目描述：

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6

解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大为6。

解题思路:

1.确定切分的终止条件,直到所有的子问题都是长度为 1 的数组，停止切分。

2.准备数据，将大问题切分为小问题.递归地将原数组二分为左区间与右区间，直到最终的数组只剩下一个元素，将其返回

3.处理子问题得到子结果，并合并

这个问题中的关键就是如何切分这些组合才能使每个小组之间不会有重复的组合（有重复的组合意味着有重复的计算量）。

首先是切分分组方法，就这个案例中的例子来，我们有一个数组[-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]，一共有9个元素，我们用 center=(start + end) / 2这个原则，得到中间元素的索引为4，也就是-1，拆分成三个组合：

1.[-2,1,-3,4,-1]以及它的子序列（在-1左边的并且包含它的为一组）
2.[2,1,-5,4] 以及它的子序列（在-1右边不包含它的为一组）
3.任何包含-1以及它右边元素2的序列为一组（换言之就是包含左边序列的最右边元素以及右边序列最左边元素的序列，比如[4,-1,2,1]，这样就保证这个组合里面的任何序列都不会和上面两个重复）
以上的三个组合内的序列没有任何的重复的部分，而且一起构成所有子序列的全集，计算出这个三个子集合的最大值，然后取其中的最大值，就是这个问题的答案了。

然而前两个子组合可以用递归来解决，一个函数就搞定，第三个跨中心的组合应该怎么计算最大值呢？

答案就是先计算左边序列里面的包含最右边元素的的子序列的最大值，也就是从左边序列的最右边元素向左一个一个累加起来，找出累加过程中每次累加的最大值，就是左边序列的最大值。同理找出右边序列的最大值，就得到了右边子序列的最大值。左右两边的最大值相加，就是包含这两个元素的子序列的最大值。

最终返回左区间的元素、右区间的元素、以及横跨左右两区间的最大值

代码

class Solution(object):
    def maxSubArray(self, nums):
        """
        :type nums: List[int]
        :rtype: int
        """
        # 【确定不断切分的终止条件】
        n = len(nums)
        if n == 1:
            return nums[0]

        # 计算左右区间的和
        left = self.maxSubArray(nums[:len(nums)//2])
        right = self.maxSubArray(nums[len(nums)//2:])

        # 计算第三个中间区间的和
        #　从右到左计算左边的最大子序和
        max_l = nums[len(nums)//2 -1] # max_l为该数组的最右边的元素
        tmp = 0 # tmp用来记录连续子数组的和
        
        for i in range( len(nums)//2-1 , -1 , -1 ):# 从右到左遍历数组的元素
            tmp += nums[i]
            max_l = max(tmp ,max_l)
            
        # 从左到右计算右边的最大子序和
        max_r = nums[len(nums)//2]
        tmp = 0
        for i in range(len(nums)//2,len(nums)):
            tmp += nums[i]
            max_r = max(tmp,max_r)
            
      
        # 返回三个中的最大值
        return max(left,right,max_l+ max_r)

50. Pow(x, n)

题目描述

实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数。
示例 1:

输入: 2.00000, 10
输出: 1024.00000

示例 2:

输入: 2.10000, 3
输出: 9.26100```
示例 3:

输入: 2.00000, -2
输出: 0.25000```
解释: 2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25
说明:

-100.0 < x < 100.0 n 是 32 位有符号整数，其数值范围是$[−2^{31}, 2^{31} − 1] $。

解题思路

确定切分的终止条件

对n不断除以2，并更新n，直到为0，终止切分

准备数据，将大问题切分为小问题

对n不断除以2，更新

处理子问题得到子结果，并合并

x与自身相乘更新x
如果n%2 ==1
将p乘以x之后赋值给p(初始值为1)，返回p
最终返回p

代码

class Solution(object):
    def myPow(self, x, n):
        """
        :type x: float
        :type n: int
        :rtype: float
        """
        # 处理n为负的情况
        if n < 0 :
            x = 1/x
            n = -n
        # 【确定不断切分的终止条件】
        if n == 0 :
            return 1

        # 【准备数据，并将大问题拆分为小的问题】
        if n%2 ==1:
          # 【处理小问题，得到子结果】
          p = x * self.myPow(x,n-1)# 【对子结果进行合并 得到最终结果】
          return p
        return self.myPow(x*x,n/2)