0 写在前面
怎么说呢，其实从入坑线段树一来，经历过两个阶段，第一个阶段是初学阶段，那个时候看网上的一些教学博文和模板入门了线段树，
然后挑选了一个线段树模板作为自己的模板，经过了一点自己的修改，然后就已知用着，其实对线段树理解不深，属于就会套个模板的状态，期间有人问我线段树的问题，我其实也半知不解的，
后来，刷了几道DFS序+线段树的题目，那个时候多多少少有所长进，再次回过头来重新看线段树的代码，理解有所加深，算是勉强理清了线段树这个东西，
再到现在，前不久刚把splay搞完，对平衡二叉搜索树有了更加深的理解，而且线段树相比splay，还是比较简单的，所以终于下定决心，好好整理一下，把线段树这一块理清晰理透彻。
1 线段树模板
2.0 单点修改，区间查询线段树
一开始我没有把这种线段树考虑进来……因为比较简单，有lazy的线段树才是好线段树！
模板可以参见：计蒜客 30996 - Lpl and Energy-saving Lamps
2.1 区间修改，区间求和线段树模板
先是最基础的区间修改，区间求和线段树模板：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn=50000+10; int n,a[maxn]; /********************************* Segment Tree - st *********************************/ struct Node{ int l,r; int val,lazy; void update(int x) { val+=(r-l+1)*x; lazy+=x; } }node[4*maxn]; void pushdown(int root) { if(node[root].lazy) { node[root*2].update(node[root].lazy); node[root*2+1].update(node[root].lazy); node[root].lazy=0; } } void pushup(int root) { node[root].val=node[root*2].val+node[root*2+1].val; } void build(int root,int l,int r) //对区间[l,r]建树 { node[root].l=l; node[root].r=r; node[root].val=0; node[root].lazy=0; if(l==r) node[root].val=a[l]; else { int mid=l+(r-l)/2; build(root*2,l,mid); build(root*2+1,mid+1,r); pushup(root); } } void update(int root,int st,int ed,int val) //区间[st,ed]全部加上val { if(st>node[root].r || ed<node[root].l) return; if(st<=node[root].l && node[root].r<=ed) node[root].update(val); else { pushdown(root); update(root*2,st,ed,val); update(root*2+1,st,ed,val); pushup(root); } } int query(int root,int st,int ed) //查询区间[st,ed]的和 { if(st>node[root].r || ed<node[root].l) return 0; if(st<=node[root].l && node[root].r<=ed) return node[root].val; else { pushdown(root); int ls=query(root*2,st,ed); int rs=query(root*2+1,st,ed); pushup(root); return ls+rs; } } /********************************* Segment Tree - ed *********************************/ int main() { int T; cin>>T; for(int kase=1;kase<=T;kase++) { scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]); build(1,1,n); printf("Case %d: ",kase); char op[8]; while(1) { scanf("%s",op); if(op[0]=='E') break; if(op[0]=='A') { int p,x; scanf("%d%d",&p,&x); update(1,p,p,x); } if(op[0]=='S') { int p,x; scanf("%d%d",&p,&x); update(1,p,p,-x); } if(op[0]=='Q') { int l,r; scanf("%d%d",&l,&r); printf("%d ",query(1,l,r)); } } } }
2.2 原理要点总结
线段树的原理其实很简单，总结来说有下面几个要点：
- 把二叉树的节点按从上到下、从左到右存在一个数组里的话，对于每个节点x，它与左右儿子的关系是：左儿子 ls = 2*x，右儿子 rs = 2*x + 1；
- 线段树每个节点存储的值是由左右儿子节点的值O(1)得到的；
- 每一次区间更新，只对 属于该区间的 又是最靠上层的 的节点进行操作，这个操作有两部分（Node结构体中的成员函数update）：①修改本节点的值，②给本节点打上lazy标记；
- lazy标记：某个节点如果打着lazy标记，表明它的儿子们还没有更新；
- 每访问到一个节点（不管是更新的访问还是查询的访问），如果要继续深入到其儿子们，显然就要先把lazy标记push下去，一旦push下去就要记得再push上来；
2.3 区间修改，区间最值线段树模板
区间修改，区间最小值线段树模板：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn=50000+10; const int INF=0x3f3f3f3f; int n,a[maxn]; /********************************* Segment Tree - st *********************************/ struct Node{ int l,r; int val,lazy; void update(int x) { val+=x; lazy+=x; } }node[4*maxn]; void pushdown(int root) { if(node[root].lazy) { node[root*2].update(node[root].lazy); node[root*2+1].update(node[root].lazy); node[root].lazy=0; } } void pushup(int root) { node[root].val=min(node[root*2].val,node[root*2+1].val); } void build(int root,int l,int r) //对区间[l,r]建树 { node[root].l=l; node[root].r=r; node[root].val=0; node[root].lazy=0; if(l==r) node[root].val=a[l]; else { int mid=l+(r-l)/2; build(root*2,l,mid); build(root*2+1,mid+1,r); pushup(root); } } void update(int root,int st,int ed,int val) //区间[st,ed]全部加上val { if(st>node[root].r || ed<node[root].l) return; if(st<=node[root].l && node[root].r<=ed) node[root].update(val); else { pushdown(root); update(root*2,st,ed,val); update(root*2+1,st,ed,val); pushup(root); } } int query(int root,int st,int ed) //查询区间[st,ed]的最小值 { if(st>node[root].r || ed<node[root].l) return INF; if(st<=node[root].l && node[root].r<=ed) return node[root].val; else { pushdown(root); int ls=query(root*2,st,ed); int rs=query(root*2+1,st,ed); pushup(root); return min(ls,rs); } } /********************************* Segment Tree - ed *********************************/ int main() { memset(a,0,sizeof(a)); n=10; build(1,1,n); update(1,5,10,2); for(int i=1;i<=n;i++) cout<<query(1,i,i)<<" "; cout<<endl; cout<<query(1,1,n)<<endl; update(1,1,5,-2); for(int i=1;i<=n;i++) cout<<query(1,i,i)<<" "; cout<<endl; cout<<query(1,1,n)<<endl; }
区间修改，区间最大值线段树模板：
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn=50000+10; const int INF=0x3f3f3f3f; int n,a[maxn]; /********************************* Segment Tree - st *********************************/ struct Node{ int l,r; int val,lazy; void update(int x) { val+=x; lazy+=x; } }node[4*maxn]; void pushdown(int root) { if(node[root].lazy) { node[root*2].update(node[root].lazy); node[root*2+1].update(node[root].lazy); node[root].lazy=0; } } void pushup(int root) { node[root].val=max(node[root*2].val,node[root*2+1].val); } void build(int root,int l,int r) //对区间[l,r]建树 { node[root].l=l; node[root].r=r; node[root].val=0; node[root].lazy=0; if(l==r) node[root].val=a[l]; else { int mid=l+(r-l)/2; build(root*2,l,mid); build(root*2+1,mid+1,r); pushup(root); } } void update(int root,int st,int ed,int val) //区间[st,ed]全部加上val { if(st>node[root].r || ed<node[root].l) return; if(st<=node[root].l && node[root].r<=ed) node[root].update(val); else { pushdown(root); update(root*2,st,ed,val); update(root*2+1,st,ed,val); pushup(root); } } int query(int root,int st,int ed) //查询区间[st,ed]的最大值 { if(st>node[root].r || ed<node[root].l) return -INF; if(st<=node[root].l && node[root].r<=ed) return node[root].val; else { pushdown(root); int ls=query(root*2,st,ed); int rs=query(root*2+1,st,ed); pushup(root); return max(ls,rs); } } /********************************* Segment Tree - ed *********************************/ int main() { memset(a,0,sizeof(a)); n=10; build(1,1,n); update(1,5,10,2); for(int i=1;i<=n;i++) cout<<query(1,i,i)<<" "; cout<<endl; cout<<query(1,1,n)<<endl; update(1,1,5,-2); for(int i=1;i<=n;i++) cout<<query(1,i,i)<<" "; cout<<endl; cout<<query(1,1,5)<<endl; cout<<query(1,1,n)<<endl; }
2 线段树的变化与应用
2.1 线段树+DFS序
DFS序：
首先对一棵树进行先序遍历，产生一个序列，用一个数组 in[1~n] 存储每个节点在序列里的位置，显然树根是第一个，所以 in[root] = 1；
同时，由于DFS有回溯存在，所以访问完一个节点的所有子节点（直接的或者间接的），会回到当前节点 x，假设回到当前节点前最后一个访问的节点是 y，我们令 out[x] = in[y]；
简单的来说，一棵树进行先序遍历产生一个序列，一个节点 x 其统领的整棵子树在序列上会是一整段区间，而 in[x] 和 out[x] 就是该区间的左右端点。
而线段树配合DFS序，用处就是将“子树修改，子树查询”变成“区间修改，区间查询”，具体请看下面两篇博文：
HDU 5692 - Snacks：http://www.cnblogs.com/dilthey/p/8988368.html
CodeForces 838B - Diverging Directions：http://www.cnblogs.com/dilthey/p/9005129.html
2.2 加乘线段树
顾名思义，就是可以同时完成如下操作的线段树：
- 某区间所有数全部加上某个数；
- 某区间所有数全部乘上某个数；
- 查询某区间所有数之和；
具体代码直接看题目：Luogu 3373
同时还有进阶版：HDU 4578
2.3 线段树+扫描线
求多个矩形的面积并：HDU 1542
求长方体3次及以上体积交：HDU 3642
2.4 线段树优化Dijkstra算法
主要体现了线段树能够适用的场合之广泛。