• CH 2101


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    描述

    给定一张N个点M条边的有向无环图,分别统计从每个点出发能够到达的点的数量。N,M≤30000。

    输入格式

    第一行两个整数N,M,接下来M行每行两个整数x,y,表示从x到y的一条有向边。

    输出格式

    共N行,表示每个点能够到达的点的数量。

    样例输入

    10 10
    3 8
    2 3
    2 5
    5 9
    5 9
    2 3
    3 9
    4 8
    2 10
    4 9
    

    样例输出

    1
    6
    3
    3
    2
    1
    1
    1
    1
    1

    题解:

    首先,如果用 $f(x)$ 代表从点 $x$ 出发所能到达的所有点的集合,应有如下公式:

    $f(x) = {x} cup (igcup_{edge(x,y)}f(y))$

    也就是说我们可以通过某种递推方式,递推出所有点的 $f(x)$。

    由此想到有向无环图的拓扑序(对于图中任意一条有向边 $(x,y)$,在该序列中 $x$ 都出现在 $y$ 之前),对有向无环图的拓扑序逆向遍历计算,正好可以正确求出每个点的 $f(x)$。

    另外, 我们还可以用状压的方式来存储 $f(x)$,也比较方便转移和存储,这里我们用bitset容器来做状压。

    关于bitset:

     bitset<1000> num; 相当于定义了一个1000位的二进制数,其 $1$ 位占用 $1$ 个bit,也就是说 $8$ 位占用一个Byte。

    由于估计时间复杂度是我们一般以 $32$ 位整数的运算次数为基准,因此 $n$ 位的bitset执行一次位运算的时间复杂度可以视作 $n/32$。

    bitset支持的位运算有按位取反“~”、按位与“&”、按位或“|”、按位异或“^”、左移“<<”、右移“>>”(均用 $0$ 填充),还可以比较是否相等“==”和“!=”。

    bitset支持 num[k] 这种形式进行取值或者赋值。根据上面的定义,范围为 num[0] 到 num[999] 。

    bitset还支持:set()全部置 $1$、reset()全部置 $0$、count()统计 $1$ 的数目、any()查询是否存在 $1$、none()查询是否没有 $1$。

    AC代码:

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int maxn=30000+5;
    int n,m;
    int indg[maxn];
    vector<int> e[maxn];
    bitset<maxn> f[maxn];
    
    vector<int> topo;
    void TopoSort()
    {
        topo.clear();
        queue<int> Q;
        for(int i=1;i<=n;i++) if(indg[i]==0) Q.push(i);
        while(Q.size())
        {
            int u=Q.front(); Q.pop();
            topo.push_back(u);
            for(auto v:e[u]) if(--indg[v]==0) Q.push(v);
        }
    }
    
    int main()
    {
        ios::sync_with_stdio(0);
        cin.tie(0), cout.tie(0);
    
        cin>>n>>m;
        memset(indg,0,sizeof(indg));
        for(int i=1,x,y;i<=m;i++) cin>>x>>y, indg[y]++, e[x].push_back(y);
    
        TopoSort();
        for(int i=topo.size()-1;i>=0;i--)
        {
            int x=topo[i];
            f[x].reset(), f[x][x]=1;
            for(auto y:e[x]) f[x]|=f[y];
        }
        for(int i=1;i<=n;i++) cout<<f[i].count()<<endl;
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/dilthey/p/10241928.html
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