希尔排序

目录

• 一、定义
  • 1.1 描述
  • 1.2 过程
• 二、算法分析
  • 2.1 希尔增量序列
  • 希尔增量时，希尔排序的最坏情形运行时间为$Theta(N^2)$
  • 2.2 其他增量序列
• 三、代码地址

一、定义

1.1 描述

​ 希尔排序（Shellsort）有时也被称作缩减增量排序。它通过比较一定间距的元素来工作，各趟比较所用的距离随着算法的进行而减小。

​ 首先要说明2个概念：

• 增量序列：希尔排序使用(h_1,h_2,h_3,…,h_t)序列，叫做增量序列，只要(h_1=1)，任何增量序列都是可行的！不过不同的增量对算法的影响可能差距很大。例如：(h_1 = 1,h_2=3,h_3=5)是一个增量序列。
• (h_k)排序：每次使用增量序列中的一个增量(h_k)进行排序之后，对于每一个(i)，我们都有(a[i]leq a[i+h_k])，所有相隔(h_k)的元素都被排序。

1.2 过程

​ (h_k)排序的一般做法：将(h_k,h_k+1,…,N-1)中的每一个位置(i)，把其上的元素放到(i，i-h_k,i-2h_k,…)中的正确位置。其实可以看出这就是在插入排序的基础上进行分组。

插入排序：https://www.cnblogs.com/dhcao/p/10693286.html

​ 图解（增量序列：(h_1 = 1,h_2=3,h_3=5)，数组a=[81，94，11，96，12，35，17，95，28，58，41，75，15]）

过程描述

• 在(h_3=5)增量时。我们对a[5]以后的数字进行间距为5的插入排序，得到在间隔为5的所有元素都是已排序的。例如：a[0],a[5],a[10]是已排序的，a[1],a[6],a[11]是已排序的。

• 在(h1=1)增量时，相当于一次插入排序。所以说只要(h_1=1)，任何增量序列都是可行的！。

二、算法分析

​ 我们知道，希尔排序的关键点在与增量序列，不同的增量序列对排序的效率将有不同的影响，我们总是期望选择一个增量序列，它拥有最好的时间函数。

​ 选择增量序列，是希尔排序最最最重要的，也是从算法开始到现在，都没有得出最好结论的，我们永远不知道有没有一个增量序列比我们已知最好的还要好。但是我们可以分析出不同的增量得到的上界和下界，并由分析推荐几个合适的增量序列。

2.1 希尔增量序列

​ 由Shell提出的一个序列：$h_t=left lfloor N/2 ight floor $ 和 $h_k=left lfloor h_{k+1}/2 ight floor $。这个序列的性能不算最好，是最开始提出的序列之一。我们很容易给出它的Java实现：

$h_t=left lfloor N/2 ight floor $ 的含义：$h_t $ 的取值为比 (N/2) 小的最大整数。

同理：(lceil N/2 ceil)的取值为比(N/2)大的最小整数

/**
	 * 希尔排序。
	 * 增量序列：N/2，N/4 ....
	 *
	 * @param a
	 * @param <T>
	 */
	public static <T extends Comparable<? super T>> void shellsort(T[] a) {

		int j;

		for (int gap = a.length / 2; gap > 0; gap /= 2) { // 增量序列

			// 每个序列排序过程
			for (int i = gap; i < a.length; i++) {
				T tmp = a[i];
				for (j = i; j >= gap && tmp.compareTo(a[j - gap]) < 0; j -= gap) {
					a[j] = a[j - gap];
				}

				a[j] = tmp;
			}
		}
	}

希尔增量时，希尔排序的最坏情形运行时间为(Theta(N^2))

​ 这个时间将很容易证明，我们需要分2步。

• 首先给出最坏情形的一个数组。
• 对这个数组用希尔增量序列进行分析，分析过程如上文第一张图。

​ 我们假设有这样一个数组a={1，9，2，10，3，11，4，12，5，13，6，14，7，15，8，16}。这个数组看上去只是奇怪，但是构造这样的数组，对于希尔增量来说，将会很麻烦。因为希尔增量的取值为(N/2)并不断二分。我们可以给出这个数组的增量序列为(h_4=8,h_3=4,h_2=2,h_1=1)。

​ 我们首先证明下界(Omega(N^2))（其实这个下界适用于多种排序，可以单独拿出来证明，而不限于希尔排序）。如果走一遍上面的增量序列，我们可以对每个要比较移动的数字，进行判断。对于15，我们只需要移动1次到倒数第二，14需要移动2次到倒数第三，13需要移动3次到倒数第四，…，数字9需要移动7次。统计需要次数：1+2+3+…+7 = 28。所以总的次数：(sumlimits_{i=1}^{N/2} i-1=Omega(N^2))。

​ 我们再说明上界(O(N^2))。我们前面在分析增量为(h_k)的一趟排序时不断提到插入排序，而且希尔排序确实基于这样一个事实：带有增量(h_k)的一趟排序由(h_k)次关于(N/h_k)个元素的插入排序组成。由于插入排序的界是已知的二次界。所以每趟排序的开销(O(h_k(N/h_k)^2))。求和得到：

[O(sum_{i=1}^{t}N^2/h_i)\ =O(N^2sum_{i=1}^{t}1/h_i)\ mbox{我们已知：}sum_{i=1}^{t}1/h_i mbox{ 中，增量是一个几何级数,例如上例，h1=1，h2=2，h3=4，h4=8}\ sum_{i=1}^{t}1/h_i 是一个公比为2的几何级数，而且最大项h_1 = 1。所以sum_{i=1}^{t}1/h_i<2。\ O(N^2sum_{i=1}^{t}1/h_i) 表示为：O(N^2)]

​ 所以希尔增量得到的希尔排序时间界为(Theta(N^2))。

2.2 其他增量序列

​ Hibbard增量序列：1，3，7，···，(2^k-1)。

这个增量序列的时间界：(Theta(N^{3/2}))。我是不会写证明过程的，这个证明说了白说...

​ 还有一些其他的增量序列，他们各自都有自己的时间界。但是迄今为止，无人敢断定还会不会有更好的增量序列。

​ Pratt证明了(Theta(N^{3/2}))的界适用于广泛的增量序列

三、代码地址

https://github.com/dhcao/dataStructuresAndAlgorithm/blob/master/src/chapterSeven/ShellsortEx.java