优先队列(堆)·二项队列

目录

• 一、 定义
• 二、 结构
• 三、 操作
  • 3.1、 合并
  • 3.1、 删除最小值（deleteMin）
• 四、 二项队列的实现
• 代码地址

一、 定义

​ 我们知道，左式堆每次操作的时间界是(O(logN))。二项队列支持合并、插入、删除最小值，每次插入的平均时间为常数时间，而最坏时间是(O(logN))。

​ 二项队列：

• 不是一棵堆序的树，而是堆序的树的集合，成为森林。
• 森林的每棵树都是二项树(binomial tree)。
• 每个高度上至多存在一棵二项树。

二、 结构

​ 结构图解：

​

1. 高度为0的二项树是一棵单节点树，例如B0。
2. 高度为k的二项树(B_k)通过将一棵二项树(B_{k-1})附接到另一棵二项树(B_{k-1})的根上而构成。

​ 结构描述：如上图

​ 二项树(B_{k})由一个带有儿子(B_{0})，(B_{1})，(B_{2})，…，(B_{k-1})的根组成！高度为k的二项树恰好有(2^k)个节点，而在深度(d)处的节点数是二项系数(inom{k}{n})。如果我们把堆序施加到二项树上并允许任意高度最多一棵二项树，那么就能够用二项树的集合表示任意大小的优先队列。例如大小为13的优先队列可以用森林(B_3)，(B_2)，(B_0)表示。可以记作1101，它不仅使用二进制表示了13的大小，而且也表达了这样的事实：在上述表示中，(B_3)，(B_2)，(B_0)出现，而(B_1)没有。

二项树组成的森林根二进制的关系：

数字13：森林表示为(B_3)，(B_2)，(B_0)；二进制记录为1101。

数字10：森林表示为(B_3)，(B_1)；二进制记录为1010。

三、 操作

​ 二项队列中，最小元可以通过森林中所有的的树的根来找出。由于最多有(logN)棵不同的树，因此找到最小元的时间可以为(O(logN))。如果我们记住最小元，并且在每次操作时更新它，那么可以直接操作最小元，时间为(N)。

3.1、 合并

​ 合并两个二项队列在概念上是一个容易的操作。如下合并H1和H2。

​ 合并图解：

1. 令(H_3)是新的二项队列，由于(H_1)没有高度为0的树而(H_2)有，我们让(H_2)中高度为0的树作为(H_3)的一部分。然后将两个高度为1的二项树相加。
2. 将(H_1)和(H_2)的高度为1的二项树相加，让大的根成为小的根的子树，从而建立高度为2的二项树。
3. 现在存在3棵高度为2的树，我们将合并其中2棵树，建立高度为3的二项树，这样，就只存在一棵高度为2，一棵高度为3，一棵高度为0的树组成的森林。
   

合并分析

​ 几乎使用任意合理的实现方法合并2棵树均花费常数时间，而总共存在(O(lonN))棵二项树，因此合并操作的最坏情形时间(O(logN))。

关于时间界(O(logN))

在N个节点组成的二项队列森林中，每个高度有且只有一棵树，很明显，高度(h = logN)，而合并操作本身花费常数时间，总个数(O(logN))。很容得到以上时间界。

​

​ 关于插入，插入其实就是合并一棵高度为0的二项树。关于插入的合并次数，如果元素将要插入的那个优先队列中不存在的最小二项树是(B_i)，那么运行时间与((i+1))成正比。

关于插入的时间界：

为什么是((i+1))的正比呢。假设：那么插入一个元素当作合并一个高度为0的二项树，记作(C_0)；

(i = 1)：森林中不存在(B_1)，那么最小树则是(B_0)，那么只需要合并(B_0)和(C_0)就能得到一棵高度为1的树，作为(B_1)。

(i = 2)：森林中不存在$B_2 (，那么最小树则是)B_1 (，第一次发生在)B_0(和)C_0(，得到)C_1(。第二次合并发生在)B_1(和)C_1(，得到)B_2$。

依次类推，我们可以知道(i)就是需要合并的次数。而1是插入时间。得到上述时间描述。

3.1、 删除最小值（deleteMin）

​ 由于我们的二项队列中所有的二项树，均是堆序的。所以我们只需要比较所有树的根节点，就能找到最小值。关键在于，我们删除一棵高度为(k)的树的根节点，那么棵树会降级为多棵树，此时会打乱森林的顺序，我们需要重新整理森林里的树，重新得到二项队列。

​ 删除图解：

1. 删除二项队列H3中的最小值12，那么由H3解体得到(H3-2)，和原来的高度为0和1的树得到的(H3-2)。
2. 得到2个二项队列：(H3-1)，(H3-2)。现在要做的就是将这个队列合并。
3. 根据上文的合并法则，得到(H4)。
   

删除最小值本质上就是组建二项堆+合并二项堆。所以时间界依然是(O(logN))。

关于这个时间界：

我们知道只要量级为改变，在大O模型中单纯的加减是不会影响我们对于时间算法的估计的。

四、 二项队列的实现

​ 最重要的操作是deleteMin和merge。deleteMin需要快速找到最小值，因此需要一般树的标准表示方法。该操作还要求各个儿子按照他们的子树的大小排序。

​ 合并树是我们需要将一棵树作为另一棵树的儿子被加到另一棵树上。由于这颗心树将是最大的子树，因此，以大小递减的方式保持这些子树是最好的。

​ 实现方法：

• 二项树的每一个节点将包含数据、第一个儿子以及右兄弟

• 二项树中的各个儿子降秩次序排列。

  如图：
  

代码地址

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