一 线段树
线段树，类似区间树，它在各个节点保存一条线段（数组中的一段子数组），主要用于高效解决连续区间的动态查询问题，由于二叉结构的特性，它基本能保持每个操作的复杂度为O(logn)。
线段树的每个节点表示一个区间，子节点则分别表示父节点的左右半区间，例如父亲的区间是[a,b]，那么(c=(a+b)/2)左儿子的区间是[a,c]，右儿子的区间是[c+1,b]。
二 理解线段树
首先是一个问题：从数组arr[0...n-1]中查找某个数组某个区间内的最小值，其中数组大小固定，但是数组中的元素的值可以随时更新。
对这个问题一个简单的解法是：遍历数组区间找到最小值，时间复杂度是O(n),额外的空间复杂度O(1)。当数据量特别大，而查询操作很频繁的时候，耗时可能会不满足需求。
另一种解法：使用一个二维数组来保存提前计算好的区间[i,j]内的最小值，那么预处理时间为O(n^2)，查询耗时O(1), 但是需要额外的O(n^2)空间，当数据量很大时，这个空间消耗是庞大的，而且当改变了数组中的某一个值时，更新二维数组中的最小值也很麻烦。
我们可以用线段树来解决这个问题：预处理耗时O(n)，查询、更新操作O(logn)，需要额外的空间O(n)。根据这个问题我们构造如下的二叉树
- 叶子节点是原始组数arr中的元素
- 非叶子节点代表它的所有子孙叶子节点所在区间的最小值
例如对于数组[2, 5, 1, 4, 9, 3]可以构造如下的二叉树（背景为白色表示叶子节点，非叶子节点的值是其对应数组区间内的最小值，例如根节点表示数组区间arr[0...5]内的最小值是1）
（其中白色的是叶子结点，非叶子结点的的值是器对应的数组区间内的最小值）
由于线段树的父节点区间是平均分割到左右子树，因此线段树是完全二叉树，对于包含n个叶子节点的完全二叉树，它一定有n-1个非叶节点，总共2n-1个节点，因此存储线段是需要的空间复杂度是O(n)。那么线段树的操作：创建线段树、查询、节点更新 是如何运作的呢（以下所有代码都是针对求区间最小值问题）？
构建线段树
因为线段树是一个满二叉树，所以创建线段树有两种方法：1.用链式结构 2.用一个二维数组储存（以下代码是第二种储存方法）
struct SegTreeNode{
int val;
};
定义包含了n个结点线段树Seg TreeNode Seg Tree[n]
Seg Tree[0] 表示根节点
那么对于结点Seg Tree[i] 其左结点为Seg Tree[i*2+1] 右结点为Seg Tree[i*2+2]
创建线段树代码如下：
1 const int maxn = 10000; 2 3 struct Seg TreeNode{ 4 int val; 5 } SegTree[maxn]; 6 7 /* 8 now 表示该线段树根节点的下标 9 ass 用来创建线段树的数组 10 istart 数组的起始位置 11 iend 数组的结束位置 12 */ 13 void build (int now, int ass[], int istart, int iend){ //创建线段树 14 if (istart == iend) /*叶子结点*/ SegTree[now].val = ass[istrat]; 15 else { 16 int mid=(istart+iend)/2; 17 build (now*2+1, ass, istart,mid); //递归构建左子树 18 build (now*2+2, ass, mid+1, iend); //递归构建右子树 19 SegTree[now].val = min (SegTree[now*2+1].val, SegTree[now*2+2].val); //根据左右结点的值更新当前结点的值 20 } 21 }
查询线段树
已经构建好了线段树，那么怎样在它上面超找某个区间的最小值呢？查询的思想是选出一些区间，使他们相连后恰好涵盖整个查询区间，因此线段树适合解决“相邻的区间的信息可以被合并成两个区间的并区间的信息”的问题。代码如下：
1 /* 2 功能：线段树的区间查询 3 root：当前线段树的根节点下标 4 [nstart, nend]: 当前节点所表示的区间 5 [qstart, qend]: 此次查询的区间 6 */ 7 int query(int root, int nstart, int nend, int qstart, int qend) 8 { 9 //查询区间和当前节点区间没有交集 10 if(qstart > nend || qend < nstart) 11 return INFINITE; 12 //当前节点区间包含在查询区间内 13 if(qstart <= nstart && qend >= nend) 14 return segTree[root].val; 15 //分别从左右子树查询，返回两者查询结果的较小值 16 int mid = (nstart + nend) / 2; 17 return min(query(root*2+1, nstart, mid, qstart, qend), 18 query(root*2+2, mid + 1, nend, qstart, qend)); 19 20 }
举例说明（对照上面的二叉树）：
1、当我们要查询区间[0,2]的最小值时，从根节点开始，要分别查询左右子树，查询左子树时节点区间[0,2]包含在查询区间[0,2]内，返回当前节点的值1，查询右子树时，节点区间[3,5]和查询区间[0,2]没有交集，返回正无穷INFINITE，查询结果取两子树查询结果的较小值1，因此结果是1.
2、查询区间[0,3]时，从根节点开始，查询左子树的节点区间[0,2]包含在区间[0,3]内，返回当前节点的值1；查询右子树时，继续递归查询右子树的左右子树，查询到非叶节点4时，又要继续递归查询：叶子节点4的节点区间[3,3]包含在查询区间[0,3]内，返回4，叶子节点9的节点区间[4,4]和[0,3]没有交集，返回INFINITE,因此非叶节点4返回的是min(4, INFINITE) = 4，叶子节点3的节点区间[5,5]和[0,3]没有交集，返回INFINITE,因此非叶节点3返回min(4, INFINITE) = 4, 因此根节点返回 min(1,4) = 1。
2.3单节点更新
单节点更新是指只更新线段树的某个叶子节点的值，但是更新叶子节点会对其父节点的值产生影响，因此更新子节点后，要回溯更新其父节点的值。
1 /* 2 功能：更新线段树中某个叶子节点的值 3 root：当前线段树的根节点下标 4 [nstart, nend]: 当前节点所表示的区间 5 index: 待更新节点在原始数组arr中的下标 6 addVal: 更新的值（原来的值加上addVal） 7 */ 8 void updateOne(int root, int nstart, int nend, int index, int addVal) 9 { 10 if(nstart == nend) 11 { 12 if(index == nstart)//找到了相应的节点，更新之 13 segTree[root].val += addVal; 14 return; 15 } 16 int mid = (nstart + nend) / 2; 17 if(index <= mid)//在左子树中更新 18 updateOne(root*2+1, nstart, mid, index, addVal); 19 else updateOne(root*2+2, mid+1, nend, index, addVal);//在右子树中更新 20 //根据左右子树的值回溯更新当前节点的值 21 segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val); 22 }
比如我们要更新叶子节点4（addVal = 6）,更新后值变为10，那么其父节点的值从4变为9，非叶结点3的值更新后不变，根节点更新后也不变。
2.4 区间更新
1 const int INFINITE = INT_MAX; 2 const int MAXNUM = 1000; 3 struct SegTreeNode 4 { 5 int val; 6 int addMark;//延迟标记 7 }segTree[MAXNUM];//定义线段树 8 9 /* 10 功能：构建线段树 11 root：当前线段树的根节点下标 12 arr: 用来构造线段树的数组 13 istart：数组的起始位置 14 iend：数组的结束位置 15 */ 16 void build(int root, int arr[], int istart, int iend) 17 { 18 segTree[root].addMark = 0;//----设置标延迟记域 19 if(istart == iend)//叶子节点 20 segTree[root].val = arr[istart]; 21 else 22 { 23 int mid = (istart + iend) / 2; 24 build(root*2+1, arr, istart, mid);//递归构造左子树 25 build(root*2+2, arr, mid+1, iend);//递归构造右子树 26 //根据左右子树根节点的值，更新当前根节点的值 27 segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val); 28 } 29 } 30 31 /* 32 功能：当前节点的标志域向孩子节点传递 33 root: 当前线段树的根节点下标 34 */ 35 void pushDown(int root) 36 { 37 if(segTree[root].addMark != 0) 38 { 39 //设置左右孩子节点的标志域，因为孩子节点可能被多次延迟标记又没有向下传递 40 //所以是 “+=” 41 segTree[root*2+1].addMark += segTree[root].addMark; 42 segTree[root*2+2].addMark += segTree[root].addMark; 43 //根据标志域设置孩子节点的值。因为我们是求区间最小值，因此当区间内每个元 44 //素加上一个值时，区间的最小值也加上这个值 45 segTree[root*2+1].val += segTree[root].addMark; 46 segTree[root*2+2].val += segTree[root].addMark; 47 //传递后，当前节点标记域清空 48 segTree[root].addMark = 0; 49 } 50 } 51 52 /* 53 功能：线段树的区间查询 54 root：当前线段树的根节点下标 55 [nstart, nend]: 当前节点所表示的区间 56 [qstart, qend]: 此次查询的区间 57 */ 58 int query(int root, int nstart, int nend, int qstart, int qend) 59 { 60 //查询区间和当前节点区间没有交集 61 if(qstart > nend || qend < nstart) 62 return INFINITE; 63 //当前节点区间包含在查询区间内 64 if(qstart <= nstart && qend >= nend) 65 return segTree[root].val; 66 //分别从左右子树查询，返回两者查询结果的较小值 67 pushDown(root); //----延迟标志域向下传递 68 int mid = (nstart + nend) / 2; 69 return min(query(root*2+1, nstart, mid, qstart, qend), 70 query(root*2+2, mid + 1, nend, qstart, qend)); 71 72 } 73 74 /* 75 功能：更新线段树中某个区间内叶子节点的值 76 root：当前线段树的根节点下标 77 [nstart, nend]: 当前节点所表示的区间 78 [ustart, uend]: 待更新的区间 79 addVal: 更新的值（原来的值加上addVal） 80 */ 81 void update(int root, int nstart, int nend, int ustart, int uend, int addVal) 82 { 83 //更新区间和当前节点区间没有交集 84 if(ustart > nend || uend < nstart) 85 return ; 86 //当前节点区间包含在更新区间内 87 if(ustart <= nstart && uend >= nend) 88 { 89 segTree[root].addMark += addVal; 90 segTree[root].val += addVal; 91 return ; 92 } 93 pushDown(root); //延迟标记向下传递 94 //更新左右孩子节点 95 int mid = (nstart + nend) / 2; 96 update(root*2+1, nstart, mid, ustart, uend, addVal); 97 update(root*2+2, mid+1, nend, ustart, uend, addVal); 98 //根据左右子树的值回溯更新当前节点的值 99 segTree[root].val = min(segTree[root*2+1].val, segTree[root*2+2].val); 100 }
区间更新举例说明：当我们要对区间[0,2]的叶子节点增加2，利用区间查询的方法从根节点开始找到了非叶子节点[0-2]，把它的值设置为1+2 = 3，并且把它的延迟标记设置为2，更新完毕；当我们要查询区间[0,1]内的最小值时，查找到区间[0,2]时，发现它的标记不为0，并且还要向下搜索，因此要把标记向下传递，把节点[0-1]的值设置为2+2 = 4，标记设置为2，节点[2-2]的值设置为1+2 = 3，标记设置为2（其实叶子节点的标志是不起作用的，这里是为了操作的一致性），然后返回查询结果：[0-1]节点的值4；当我们再次更新区间[0,1]（增加3）时，查询到节点[0-1],发现它的标记值为2，因此把它的标记值设置为2+3 = 5，节点的值设置为4+3 = 7；
其实当区间更新的区间左右值相等时（[i,i]），就相当于单节点更新，单节点更新只是区间更新的特例。
区间更新是指更新某个区间内的叶子节点的值，因为涉及到的叶子节点不止一个，而叶子节点会影响其相应的非叶父节点，那么回溯需要更新的非叶子节点也会有很多，如果一次性更新完，操作的时间复杂度肯定不是O(lgn)，例如当我们要更新区间[0,3]内的叶子节点时，需要更新出了叶子节点3,9外的所有其他节点。为此引入了线段树中的延迟标记概念，这也是线段树的精华所在。
延迟标记：每个节点新增加一个标记，记录这个节点是否进行了某种修改(这种修改操作会影响其子节点)，对于任意区间的修改，我们先按照区间查询的方式将其划分成线段树中的节点，然后修改这些节点的信息，并给这些节点标记上代表这种修改操作的标记。在修改和查询的时候，如果我们到了一个节点p，并且决定考虑其子节点，那么我们就要看节点p是否被标记，如果有，就要按照标记修改其子节点的信息，并且给子节点都标上相同的标记，同时消掉节点p的标记。
因此需要在线段树结构中加入延迟标记域，本文例子中我们加入标记与addMark，表示节点的子孙节点在原来的值的基础上加上addMark的值，同时还需要修改创建函数build 和 查询函数 query，修改的代码用红色字体表示，其中区间更新的函数为update，代码如下：