Codeforces 932G Palindrome Partition 回文树+DP

题意：给定一个串，把串分为偶数段
假设分为(s_1,s_2,s_3....s_k)
求满足$ s_1=s_k,s_2=s_{ k-1 }... $的方案数模(10^9+7)
(|S|leq 10^6)

首先想到将原串变为(s_1 s_n s_2 s_{n-2}...) 这样问题变成了求将新串分成任意个偶数长度回文串的方案数
对于这个问题,我们先给出两个结论

(1.)一个回文串S的后缀(T)如果是回文串等价于(T)是(S)的$border $
(2.)将一个串(S)的所有(borde)r按长度从小到大排序后，能形成(log)个等差数列

设(f_i)表示(s[1...i])分成回文串的方案数,(g_p)表示回文串(p)在(s[1...i])中最后一次出现且此时为等差数列((str_1,str_2,str_3...,p))的最后一项时的(sum_{str_i}f_{i-|str_i|})
对于一个等差序列,设当前节点为末项的等差数列有(b_1,b_2,b_3),公差为(d),其中(|b1|>|b2|>|b3|)那么有(g_p=f_{i-b1}+f_{i-b2}+f_{i-b3})
根据结论(1),不难发现(S_{i-b2,i-d}=S_{i-b3,i},S_{i-b1,i-d}=S_{i-b2,i}),那么在(g_{fail[p]})中就已经包含了(f_{i-b1})和(f{i-b2}),只要把(f_{i-b3})加上就好了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define FO(x) {freopen(#x".in","r",stdin);freopen(#x".out","w",stdout);}
#define pa pair<int,int>
#define mod 1000000007
#define ll long long
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define lb double
#define fi first
#define se second
#define cl(x) memset(x,0,sizeof x)
#ifdef Devil_Gary
#define bug(x) cout<<(#x)<<" "<<(x)<<endl
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#else
#define bug(x)
#define debug(...)
#endif
const int INF = 0x7fffffff;
const int N=1e6+5;
/*
char *TT,*mo,but[(1<<15)+2];
#define getchar() ((TT==mo&&(mo=(TT=but)+fread(but,1,1<<15,stdin),TT==mo))?-1:*TT++)//*/
inline int read(){
    int x=0,rev=0,ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')rev=1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return rev?-x:x;
}
int n,lst,cnt=1,id[N],nxt[N],c[N][26],fail[N],len[N],f[N],g[N],diff[N];
char s[N],ss[N];
int extend(int x,int n){
	int p=lst;
	while(s[n-len[p]-1]!=s[n]) p=fail[p];
	if(!c[p][x]){
		int now=++cnt,k=fail[p];
		len[now]=len[p]+2;
		while(s[n-len[k]-1]!=s[n]) k=fail[k];
		fail[now]=c[k][x],c[p][x]=now;
		diff[now]=len[now]-len[fail[now]];
		if(diff[now]==diff[fail[now]]) nxt[now]=nxt[fail[now]];
		else nxt[now]=fail[now];
	}
	return lst=c[p][x];
}
int main(){
#ifdef Devil_Gary
	freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
	scanf("%s",ss+1),n=strlen(ss+1);
	for(int i=1,j=0;i<=n;i+=2) s[i]=ss[++j];
	for(int i=2,j=n+1;i<=n;i+=2) s[i]=ss[--j];
	fail[0]=fail[1]=1,len[1]=-1,f[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) id[i]=extend(s[i]-'a',i);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=id[i];j;j=nxt[j]){
			g[j]=f[i-len[nxt[j]]-diff[j]];
			if(diff[j]==diff[fail[j]]) (g[j]+=g[fail[j]])%=mod;
			if(!(i&1)) (f[i]+=g[j])%=mod;
		}
	}
	printf("%d
",f[n]);
}