机器学习：支持向量机4

本文来自同步博客。

前面介绍的SVM，无论是线性可分还是非线性可分，称为Hard Margin SVM，都要求对输入数据进行精确划分。我们不难想到这类SVM存在过拟合这个问题。如果输入数据本身就存在误差，精确划分反而是没意义的。本篇文章就如何处理过拟合问题，介绍即所谓的Soft Margin SVM。

数学推导

引入衡量误差的变量 -xi\_i-−ξ_i−。-xi\_i-−ξ_i−表示不能被正确分类的样本点距离正确一侧边界的距离，距离越大表示错误越大，即-xi\_i-−ξ_i−越大。如果样本点能被正确分类，则-xi\_i = 0-−ξ_i=0−。故有-xi\_i ge 0-−ξ_i≥0−。

那么，原来能通过求解函数-frac{1}{2}vec{w}^{2}-−21​w2−在最小化下的参数-vec{alpha}-−α−，如今需要增加能够体现误差的约束条件再求解。

可以如下构造函数来描述误差：
frac{1}{2}vec{w}^{2} + Csum_{i}^{n}{xi\_i}21​w2+Ci∑n​ξ_i

这个函数把所有输入数据的误差叠加在一起，即-sum_{i}^{n}{xi\_i}-−∑in​ξ_i−。然后用参数C来控制所有误差的权重。如果C很大，表示即使有很小的误差出现都会严重影响目标函数。

结合之前文章提到的知识，可以构造拉格朗日方程：

L(vec{w}, b, vec{xi}, vec{alpha}, vec{eta}) = frac{1}{2}vec{w}^{T}vec{w} + Csum_{i}^{n}{xi\_i} - sum\_{i}^{n}{alpha\_i[y\_i(vec{w}^{T}vec{x\_i}+b)-1+xi\_i]} - sum\_{i}^{n}eta\_ixi\_iL(w,b,ξ​,α,β​)=21​wTw+Ci∑n​ξ_i−∑_inα_i[y_i(wTx_i​+b)−1+ξ_i]−∑_inβ_iξ_i
其中，
alpha\_i ge 0, eta\_i ge 0, i = 1,2...nα_i≥0,β_i≥0,i=1,2...n

然后利用对偶思想求解-vec{w}, b, xi-−w,b,ξ−的导数，并让他们等于0。如下：

egin{array}{lcl} frac{partial L}{partial vec{w}} = vec{w} - sum\_{i}^{n}alpha\_{i} y\_{i} vec{x}\_i = 0 \\ frac{partial L}{partial b} = - sum\_{i}^{n}alpha\_{i} y\_{i} = 0 \\ frac{partial L}{partial xi\_{i}} = C - alpha\_{i} - eta\_{i} = 0 end{array}∂w∂L​=w−∑_inα_iy_ix_i=0∂b∂L​=−∑_inα_iy_i=0∂ξ_i∂L​=C−α_i−β_i=0​

代入上面的拉格朗日方程，可以得到二项规划方程。最后求解-vec{alpha}-−α−，可得-vec{w}-−w−和-b-−b−。二项规划方程如下：
公式输入有误

其中-vec{w}-−w−如下：
vec{w} = sum\_{i}^{n}alpha\_{i}y\_{i}vec{x}\_{i}w=∑_inα_iy_ix_i

-b-−b−可利用落于边界上的支持向量求解。

比较

看到二项规划那一步，我们可以发现Hard Margin SVM和Soft Margin SVM的差别仅仅是-alpha\_i-−α_i−的取值范围上有差异。Hard Margin SVM的约束条件是-alpha\_i ge 0-−α_i≥0−；Soft Margin SVM的约束条件是-C ge alpha\_i ge 0-−C≥α_i≥0−。

我们知道-alpha\_{i}-−α_i−仅在-vec{x}-−x−为支持向量时值大于零。而在这里，-alpha\_{i}-−α_i−多了一个上限C。因为-C = alpha\_{i} + eta\_{i}-−C=α_i+β_i−，所以有下面结论：

如果-alpha\_{i} = 0-−α_i=0−，表示该点为非支持向量。

如果- 0 lt alpha\_{i} lt C-−0<α_i<C−，则-eta\_{i} gt 0-−β_i>0−，对应的-xi\_{i} = 0-−ξ_i=0−，表示该点为边界支持向量。如下图：

 

image.png

如果-alpha\_{i} = C-−α_i=C−，则-eta\_{i} = 0-−β_i=0−，对应的-xi\_{i} gt 0-−ξ_i>0−，表示该点违反了最大边界的原则，属于噪声点。

 

image.png