UVA10870 Recurrences （矩阵快速幂及构造方法详解）

题意：

　　F（n） =  a₁ * F（n-1） + a₂ * F（n-2）+ ···· + a_d * F（n-d）。

　　求给你的n 。 很明显这是一道矩阵快速幂的题目。

　　

题解：

　　[F_n-1, F_n-2, F_n-3, ···, F_n-d] * A（矩阵） = [F_n, F_n-1, F_n-2, ···, F_n-d+1] 。

　　F_n  = 第一个矩阵 * A的第一列， 所以A矩阵的第一列为（a1, a2 , ··· ad）。

　　F_n = 第一个矩阵  * A的第二列， 所以A矩阵的第二列为（1， 0， 0，···， 0）。

　　同理可以推出整个A矩阵：

　　a1　　1　　0　　···     0

　　a2　　0　　1　　···     0

　　a3　　0　　0　　···     0

　　···　　0　　0　　···　  1

　　ad　　0　　0　　0　　0

　　当n 小于等于d 的时候 直接输出。

　　[ f(d), f(d-1), f(d-2), ···, f(2), f(1) ] * A^n-d =  [F_n, F_n-1, F_n-2, ···, F_n-d+1] 。

　　

　　

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <stack>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define ms(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define pb push_back
#define mp make_pair
const LL INF = 0x7fffffff;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 10+10;
int mod;
struct Matrix
{
    LL c[maxn][maxn];
};//Matrix 矩阵
Matrix mult(Matrix a, Matrix b, int len)//矩阵乘法
{
     Matrix hh={0};
     for(int i=0;i<len;i++)
        for(int j =0;j<len;j++)
            for(int k = 0;k<len;k++){
                hh.c[i][j] += (a.c[i][k]*b.c[k][j])%mod;
                hh.c[i][j] %= mod;
            }
    return hh;
}
Matrix qpow_Matrix(Matrix a, int b, int len)
{
    Matrix base = a;
    Matrix ans;
    //初始化ans = 1。
    for(int i =0;i<len;i++)
        for(int j =0;j<len;j++)
            if(i==j)    ans.c[i][j] = 1;
            else ans.c[i][j] = 0;
    //
    while(b){
        if(b&1)     ans = mult(ans, base, len);
        base = mult(base, base, len);
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int a[maxn];
int f[maxn];
void solve(int d, int n, int m){
    mod = m;
    for(int i = 1;i<=d;i++) cin >> a[i];
    for(int i = 1;i<=d;i++) cin >> f[i];

    Matrix begin={0};
    for(int j = 0;j<d;j++){
        begin.c[0][j] = f[d-j]%mod;
    }
    Matrix A={0};
    for(int j = 0;j<d;j++)
        A.c[j][0] = a[j+1]%mod;
    for(int j = 0;j<d;j++){
        A.c[j][j+1] = 1;
    }
    if(n<=d){
        cout << f[n]%mod << endl;
        return;
    }
    Matrix temp = qpow_Matrix(A, n-d, d);
    Matrix ans = mult(begin, temp, d);
    cout << ans.c[0][0]%mod << endl;
    return;
}
int main() {
#ifdef LOCAL
    freopen("input.txt", "r", stdin);
//        freopen("output.txt", "w", stdout);
#endif
//    ios::sync_with_stdio(0);
//    cin.tie(0);
    int d, n, m;
    while(cin >> d >> n >> m){
        if(d+n+m==0)    break;
        solve(d, n, m);
    }
    return 0;
}