多项式学习 Day 3.
第一篇多项式题解 >_<
思路
注意到周长其实就是红板长度加上选的板子的数量。
于是当我们确定了红板长度 (L) 和周长 (C) 之后，我们需要取出 (frac{C}{2}-L-1) 块白板。
然后很恶心的是虽然板子不能一样长，但是可以在红板两侧各来一块相同长度的白板。
于是我们发现一种颜色的白板超过两条和两条是等价的。
然后我们考虑两种特殊情况：
- 所有白板都只有一条。
这种情况下，我们可以先选 (j) 条，然后分别考虑每条放左边还是右边。
如果从 (i) 种白板中选出 (j) 条，那么有 (2^jinom{i}{j}) 种方案。
- 所有白板都有两条。
我们让第一条代表放在左边，第二条代表放在右边。
那么一种方案和选 (j) 条板子是一一对应的。
那么如果从 (i) 种白板种选出 (j) 条，那么有 (inom{2i}{j}) 种方案。
然后我们发现选出 (i) 条白板的过程可以拆解成选出 (j) 条只有一条的白板和 (i-j) 条有两条的白板。
于是我们只需要把两部分拆开即可，先算出选出 (j) 条只有一条的白板和有两条的白板的方案数，然后卷积即可。
注意到白板的长度要小于红板，所以要对于每块红版单独 ( ext{NTT}) 一次。
代码
//zhoukangyang AK IOI!
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
int s=0,w=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
return s*w;
}
const long long p=998244353;
long long qp(long long x,int y)
{
long long res=1;
for(long long now=x; y; now=now*now%p,y>>=1) if(y&1) res=res*now%p;
return res;
}
long long A[6000003],B[6000003];
int rev[6000003],N=1;
void init()
{
int d=N>>1;
rev[0]=0,rev[1]=N>>1;
for(int i=2; i<=N; i<<=1)
{
d>>=1;
for(int j=0; j<i; ++j) rev[i+j]=rev[j]|d;
}
return ;
}
void NTT(long long* F,int op)
{
for(int i=0; i<N; ++i) if(rev[i]>i) swap(F[i],F[rev[i]]);
for(int len=2,M=1; len<=N; len<<=1,M<<=1)
{
long long w=qp(op?3:332748118,998244352/len);
//omega(m,1)
for(int l=0,r=len-1; l<=N; l+=len,r+=len)
{
long long w0=1;
for(int i=l; i<l+M; ++i)
{
long long x=(F[i]+w0*F[i+M]%p)%p,y=(F[i]+p-w0*F[i+M]%p)%p;
F[i]=x,F[i+M]=y,w0=w0*w%p;
}
}
}
}
int cnt[1000003],b[13],q[1000003];
long long ans[1000003];
int t;
void solve(int lim)
{
int P=0,Q=0;
for(int i=1; i<lim; ++i) if(cnt[i]==1) ++P; else if(cnt[i]>=2) ++Q;
Q<<=1;
for(;N<=P+Q;N<<=1);
for(int i=0; i<N; ++i) A[i]=B[i]=0;
long long fz=1,fm=1;
for(int i=0; i<=P; ++i,fz=fz*(P+1-i)%p,fm=fm*i%p) A[i]=fz*qp(fm,p-2)%p*qp(2,i)%p;
fz=fm=1;
for(int i=0; i<=Q; ++i,fz=fz*(Q+1-i)%p,fm=fm*i%p) B[i]=fz*qp(fm,p-2)%p;
init();
NTT(A,1),NTT(B,1);
for(int i=0; i<N; ++i) A[i]=A[i]*B[i]%p;
NTT(A,0);
long long inv=qp(N,998244351);
for(int i=0; i<N; ++i) A[i]=A[i]*inv%p;
for(int j=1; j<=t; ++j) if(q[j]-lim>=0) ans[j]=(ans[j]+A[q[j]-lim])%p;
return ;
}
signed main()
{
int n=read(),k=read();
for(int i=1; i<=n; ++i) ++cnt[read()];
for(int i=1; i<=k; ++i) b[i]=read();
t=read();
for(int i=1; i<=t; ++i) q[i]=(read()>>1)-1;
for(int i=1; i<=k; ++i) solve(b[i]);
for(int i=1; i<=t; ++i) printf("%lld
",ans[i]);
return 0;
}