乘法逆元

作用

众所周知，模运算下有同加性，同减性，同乘性而没有同除性，即没有((frac ab)\%p=(frac{a\%p}{b\%p})\%p)

如果不信很简单就可以找到一组反例：

((frac {100}{50})\%20=2)

而

((frac{100\%20}{50\%20})\%20=0)。

但是求解中有大量除法怎么办呢？于是为了解决没有同除性问题就产生了乘法逆元。

现在假设(x)为(a)的乘法逆元，根据需求，应该满足对于任意的整数(b)，(frac ba≡p(mod n))时有(bx≡p(mod n))。

给出定义：当(axequiv1(mod n)) 时，称(x)为(a)模(n)意义下的乘法逆元。

由此利用同乘性有：

[frac baequivfrac bacdot1equivfrac bacdot axequiv bcdot x(mod n) ]

因此只要找到符号定义的(x)就可以把模算术中的除法转换成了乘法。

从定义中强调了(n)可以知道，对于不同的模数，(a)的乘法逆元是不同的，具体原因看后面求解的过程

求法

1、扩展欧几里得算法：

由定义有(ax=nk+1,kin Z)，即(ax-nk=1)。

条件：根据扩展欧几里得算法相关知识，仅当1为(gcd(a, n))的倍数，此处即(gcd(a, b)=1)时该方程有解

此时可用扩展欧几里得算法求解：

LL Exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) {
    if(!b) { x=1, y=0; return a; }
    LL g = Exgcd(b, a%b, y, x);
    y = y - a / b * x;
    return g;
}

LL inverse(LL a, LL n) {
    LL x, y, g = Exgcd(a, n, x, y);
    return g == 1 ? (x%n+n)%n : -1; // -1为无解 
}

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2、费马小定理：

原定理：(a^{p-1}≡1(mod p))

条件：(p)为素数且(a,p)互素

则可推得(acdot a^{p-2}≡1(mod p))

即(a^{p-2})为(a)的乘法逆元

快速幂算(a^{p-2})，时间(O(log_2n))

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3、欧拉定理：

相当于扩展的费马小定理，处理模数不是素数的情况

原定理：(a^{varphi(p)}equiv1(mod p))，其中(varphi(p))为欧拉函数

条件：(a,p)互质

推得(acdot a^{varphi(p)-1}equiv1(mod p))

求解过程和"2、费马小定理"类似，要多算一个(varphi(p))但可以处理更宽泛的情况，不要求(p)为素数

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一对比就可以发现，用扩展欧几里得算法明显实用性更强，因此推荐写扩欧。

但(p)为素数时用费马小定理写快速幂会快一点。

至于欧拉算法，就比较尴尬，广泛性不如扩欧大，代码复杂度不如费马小定理低，因此推测它不常用。