递归法

递归法（Recursion）是一种在函数或方法中调用自身的编程技术，在计算机方法中，使用递归技术往往使函数的定义和算法的描述简洁且易于理解。任何可以用计算机求解的问题所需要的计算时间都与其规模有关。而且规模越小，解题所需要的计算时间通常越小，从而比较容易处理。

简而言之，递归思想就是用与自身问题相似但规模较小的问题来描述自己。

例如，兔子出生两个月后就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？

第一个月小兔子没有繁殖能力，所有还是一对；两个月后，生下一对，兔子共2对；三个月后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对。

以此类推，如下所示。

所经过月数：0 1 2 3 4 5  6   7   8   9  10   11  12

兔子对数：   1  1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233

表中数字1,1,2,3,5,8^233构成一个序列。这个数列有个明显的特点，即前面两项之和构成后一项。用数学表示这个无穷数列称为裴波那契数列，形式化描述为：

　　　　 1　　　　　　    , n=0

F(n)=　　1　　　　　　　,n=1

　　　　F(n-1)+F(n-2)　　,n>1

该数列就是个典型递归数列。

#include<iostream>
using namespace std;

int fib(int n) {
    int f=0;
    if(n==1)    return 0;
    if(n==2)    return 1;
    f=fib(n-1)+fib(n-2);
    return f;
}

int main() {
    int n,i,m=0;
    cin>>n;
    m=fib(n);
    cout<<"第"<<n<<"项是"<<m<<endl;
    m=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
        m=fib(i)+m;
    cout<<"前"<<n<<" 项和是"<<m<<endl; 
    return 0;
}

递归算法的特性：

（1）求解规模为n的问题可以转换成一个或多个结果相同、规模较小的问题，然后从这些小问题的解能方便地构造出大问题的解。

（2）递归调用的次数必须是有限的。

（3）必须有结束递归的条件（边界条件）来终止递归。即当规模为1时，能够直接得解。

递归的执行过程：

递归算法的执行过程划分为递推和回归两个阶段。在递推阶段，把规模为n的问题求解推到比原问题的规模较小的问题求解，且必须要有终止递推的情况。在回归阶段，当获得最简单情况的解后，逐渐返回，依次得到规模较大问题的解。

需要注意的是，用递归描述问题并不表示程序也一定要直接用递归实现。

递归算法的优点：结构清晰、可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性，因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。

递归算法的缺点：运行效率相对较低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。通常解决方法是消除递归算法中的递归调用，使递归算法转换为非递归算法。

理论上递归算法都可以转换为非递归算法。方法有如下3种

(1)通过分析，跳过分解部分，直接用循环结构实现求值过程。

(2)用栈保存程序的运行过程，通过分析只保存必须保存的信息，从而用非递归算法替代递归算法。

(3)利用栈保存参数，由于栈的后进先出特性与递归算法的执行过程相似，因而可以用非递归算法替代递归算法。

1汉诺塔问题求解

假设有n个金盘，并且金盘由小到大一次编号为1,2,3……n。要把放在A针上的n个金盘移到目的针C上。当只有一个金盘，即n=1时，只要将编号为1的金盘从A针直接移到C针上即可。当n>1时，可以把最上面的n-1个金盘看作一个整体。这样n个金盘就分成了两个部分：上面n-1个金盘和最下面的编号为n的金盘。移动金盘的问题可以转换为如下3个步骤：

1）借助C针，将n-1个金盘从A针移到B针上；

2）将编号为n的金盘直接从A针移到C针上；

3）借助A针，将B针上的n-1个金盘移到C针上。

其中，第二步只移动一个金盘，容易解决。第一、三步不能直接解决，但由于已经把移到n个金盘问题变成了移到n-1个金盘的问题，问题规模变小。如果再把第一、三步分别变成类似的三个子问题，移到n-1个金盘的问题就可以变成移到n-2个金盘的问题，依次类推，从而将问题加以解决。

#include<iostream>
using namespace std;

void Move(int n,char x,char y) {
    cout<<"把"<<n<<" 号从 "<<x<<"挪动到 "<<y<<endl;
}

void Hannoi(int n,char a,char b,char c) {
    if(n==1)
        Move(1,a,c);
    else {
        Hannoi(n-1,a,c,b);
        Move(n,a,c);
        Hannoi(n-1,b,a,c);
    }
}

int main() {
    cout<<"以下是3层汉诺塔的解法"<<endl;
    Hannoi(3,'a','b','c');
    cout<<"输出完毕！"<<endl; 
    return 0;
}

2 八皇后问题

在8*8国际象棋盘上放置8个黄昏，使任何一个皇后都不能吃掉另一个。即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或者同一斜线上，问共有多少种放置方案。

假设当前生成全排列中的第t个数字大于n，其中，t是每一行从左到右的标号，n是棋盘的行数，则说明生成了一个全排列，否则：

1）从1~8中依次取出一个数字来尝试，如果此数字前面已经出现，则取下一个数字，直到找到第一个没有出现过的数字；

2）将这个数字标记为已出现，然后以同样的方法生成全排列中的下一个数字；

3）将这个数字标记为未出现；

显然，这是一个递归定义，递归的结束条件为t>n。

#include<iostream>
using namespace std;
int result=1;
int chess[8];

//根据前面几行的棋子，检查这一行所放的棋子是否合法
int check(int n) {
    int i;
    for(i=1;i<=n-1;i++) {
        if(chess[n] == chess[i]+(n-i) || chess[n]==chess[i]-(n-i) || chess[n]==chess[i])
            return 0;
    }
    return 1;
} 
 
 void show_chess(void) {
     int i;
     cout<<endl<<"Result -"<<result<<endl;
     for(i=1;i<=8;i++) {
         cout<<i<<" : "<<chess[i]<<"	";
     }
     ++result; 
 }
 
 //递归函数：放棋子
void putchess(int n) {
    int i;
    if(n<=8) {
        for(i=1;i<=8;i++) {//将第n行从第一格(i)开始往下放 
            chess[n]=i;
            if(check(n) == 1) {//若可放，则检查是否放满 
                if(n==8)
                    show_chess();//若已放满到8行时，则表示找出一种解，打印出来 
                else
                    putchess(n+1);//若没放满则放下一行 putchess(n+1) 
            }
        }
    }
} 
  
int main() {
    cout<<"This is for 8*8 matrix"<<endl;
    putchess(1);
    return 0;
}