先发出来，防止后期咕掉
树链剖分
重链剖分
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从每个点到根的路径上至多会有(log(n))条轻边。（每次走轻边子树规模至少除2）
所以对于树上的任意一条路径，从lca处往两边拆分，至多会有(log(n))条重链
每次都要跳所在所在重链顶端较深的那一个
NOI2021 Day1 T1
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现在要维护边的信息，但修改操作并不是一条简单路径，还有与点相邻的一些边。
所以，如果还是在边的角度去思考，就没有什么前途。
考虑点边转化
把一条边的信息用点的信息呈现出来
不妨对于每个点都维护一个颜色。
那么考虑让重边所连接的两个点颜色相同，反之不同。
而在一次修改时，只需将这条路径上的所有点都涂上之前没出现的颜色即可，发现这样恰好满足条件。
问题转化为：求一条路径上，相邻点满足颜色相同有多少个，这个用树剖+线段树维护就可以了
线段树维护：对于每个节点，维护三个信息：答案，左端点的颜色，右端点的颜色。这样就可以实现合并了
经典交互问题
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可以询问点之间的距离，求出二叉树的结构。
(nleq 3000)，至多进行(30000)次询问
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先求出深度，按深度从浅到深去确定每一个点的父亲。
对于当前已经确定的树的部分进行重链剖分
假设我们要确定(x)的位置，从根节点(u)开始：
询问(x)与(u)所在重链底端(y)的距离，因为深度都是已知的，那么借此可以求出(x)与(y)的lca的深度，假设这个点为(p)
如果(p)的儿子的数量(leq 1),说明找到了，否则继续从轻儿子(w)的子树中继续递归寻找
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因为每次找到一个点，都要重新对整颗树进行剖分，时间复杂度：(O(n^2))
而在重链上跳保证了询问次数是(O(n; log(n)))
Codechef GCD
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只需注意：在单点修改，递归更新父节点gcd时，这个过程也是一个log，而不是两个log。因为它相当于对于一个数(v)不断地取gcd，取到1就停了
P5354
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容易想到是对线段树每个节点维护(f,g)：代表进来0/1，出去会变成0还是1
暴力合并是(O(64))的，思考如何快速合并。
因为位与位是互不影响的，不妨考虑进来的是"0000...000",出去的数用二进制表示是什么
这样我们就能知道每一位进来了0，出去是什么
分类讨论，对于左边的(f)是1的，代表变成了1，只需看右边的(g)是否是1就行了。对应着左(f)和右(g)都是1，对这俩数&一下
或左边的(f)是0，看右边的(f)是否是1，我们不妨把左边的(f)取个反，也是左(f)和右(f)做&运算
这样就把合并变成了(O(1))
P4211
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扫描线去掉一维，变成一个前缀与询问(z)的lca深度之和。
考虑加一个点时，把其到根的路径上+1，查询是直接查询点到根路径之和，容易发现这样是对的
CF757G
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与上题一模一样，改成在线了。
在线？那就主席树，主席树维护树上每个点插入一个前缀现在的和。
交换？为啥是(x)和(x+1)，因为出题人不会做。
发现对于([1,x-1])和([x+2,n])都没有影响，因为和插入顺序没有关系。
相当于只改了两颗线段树，一个log修改
P5314
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可以根号分治来做
或对于每个点维护平衡树（只维护连出去轻边的信息）
这样树剖的时候，只有在重链跳到另一个重链时会经过一条轻边，会修改log次，加上平衡树，是两个log
查询时暴力把那最多3个点插入到平衡树中，然后再删除，一个log
长链剖分
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以子树深度最大的那个作为重儿子
这样一个点到根节点的路径上轻边最多是(O(sqrt n)级别的)
构造极限数据
一颗二叉树，倾斜看像三角形的形状
从根开始一直往左下走的所有节点，往右伸出一条链，且长度依次减2
这样左边这条链全都是轻边，设其长度为(L),则需要(O(L^2))的节点，那么(L)最坏是(O(sqrt n))级别
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优化树形dp
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dp状态中往往有一维是深度
CF1009F
状态为(f_{i,j})，暴力转移为(O(n^2))
考虑让(i)直接继承重儿子的信息，然后对于轻儿子暴力去合并
会发现，对于每个轻儿子来说，其dp数组的状态，是其所在重链的长度
那么总复杂度就是所有重链长度的和，即(O(n))
求k级祖先
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先预处理(2^i)祖先
然后在每条重链（长度为d）的顶点处(x)，预处理出(x)的(1,2,...,d)级祖先，和这条链上的所有点
那么询问时找到(2^i<k<2^{i+1})直接(O(1))得出答案
P4292 重建计划
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01分数规划
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要让(c)最大化
不妨去二分这个(c)，问题就变成了：
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也就是把每个点的点权看作(a_i-b_ic)，然后我们要在其中选出若干个数，使得和为正，这样问题就变得简单了
题目的限制和路径的长度有关。
不妨设计(f_{i,j})表示(i)的子树内长为(j)的路径权值和最大是多少
这个东西就可以用长链剖分来优化。
与重链剖分类似的，在长链上也维护线段树
这样外层01分数规划有一个log，总复杂度：(O(n;log^2 n))
虚树
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只关心关键点的相对位置
建立虚树的过程
将关键点按dfs序排序
维护单调栈（存储当前点到根的路径上的关键点）
若发现仍然在这条链往下的地方（入栈，先不连边）
否则，找出与栈顶的lca，然后依次弹栈，在弹栈的过程中加边，并把lca加入栈中。
NOI2021 Day1 T3
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分析性质的题是我要加强的。。。
首先考虑部分分的情况
28pts
一个点(x)可以被走到，当且仅当它在一条(s->t)的路径上
这等价于，(s)可以走到(x),(x)可以走到(t)，那么正反图各跑一遍bfs就可以了
(O(nq))
36pts
容易发现原图长成一颗树的形状（废话），但一个点的入度不可能大于1，即：这是一颗外向树。
预处理到根上有多少个点（深度）
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分析一波性质,乍一看这个东西长的非常奇怪。
先不管那么多，因为一个点可以被重复经过，先缩个点再说，说不定会有一些奇怪的性质。
若(A->C,B->C)，若(A,B)之间的边是(A->B)，那么(A->C)的边也不用连了，因为我们只关心一个点能走到哪里，而并不关心哪些边存不存在，只要不影响点之间的关系就行。
在DAG上，某个点(x)可能有多个入度(r_1,r_2,...r_k)，那么其中必定有一个点，使得剩余(k-1)个点向其都有连边。
可以使用反证法，如果每一个点都满足有一个出度，那么就必定构成了一个环，就不满足这是DAG的性质了。
所以把其余(k-1)个点到(x)的边删去。
所以每个点现在最多只有一个入度了，又变成了外向树的形状
加(k)条边后，这些端点与(s,t)构成了一些关键点，而我们具体只关心这些关键点，建一颗虚树，而关键点数量很少，大约也就10的级别
(O(10q))
点分治
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模板和原理已在前面写过
下面是几道比较好的例题
NOI2014 购票
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dp的柿子我就不推了，可以表示成一个用斜率优化表示的柿子
但从中我们需要总结出一些东西。
发现对于(ax+by)这样的形式，其中(a,b)是常数，(x,y)只和我们枚举的转移点(j)有关，那么就一定可以用斜率优化。
但这道题不同的一点事，我们是在树上做dp，且有长度的限制((l_v))，而关于路径长度这东西，用点分治就十分套路了
考虑点分治
找到分治中心(W)后，因为这是一颗有根树，先递归带有根的那部分。
然后对于剩下的几颗子树，继续递归即可
可以发现这有些像cdq分治的思路