- 题目 CRB and Candies
- 题意
[ ext{给定正整数N，求} LCM lbrace C left(N , 0
ight),Cleft(N , 1
ight),...,Cleft(N , N
ight)
brace \% mod qquad 1leq N leq 10^6
]
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题解
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根据规律推出公式，另外关于这个公式的证明
[ LCM lbrace C left(N , 0 ight),Cleft(N , 1 ight),...,Cleft(N , N ight) brace quad = quad frac{LCM(1,2,3...,N+1)}{N+1} ] -
由于数据规模较大，除法取模可以化为求乘以N+1在模mod意义下的逆元再取模，问题就转化为了如何求连续自然数的LCM
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由唯一分解定理可知LCM算法：
[ X_1 = P_1^{e_1}*P_2^{e_2}*...*P_k^{e_k} quad \ X_2 = P_1^{e_1'}*P_2^{e_2'}*...*P_k^{e_k'} quad \ ext{$k$ $ o$ ∞ $quad$ $P_i$ is a prime number} \ ext{}\ LCM(X_1,X2) = P_1^{max(e_1,e_1')} * P_2^{max(e_2,e_2')} *...* P_k^{max(e_k,e_k')} ]- 不妨设LCM[i]表示从1到i的lcm，则LCM[i+1]与LCM[i]的关系为
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[LCM left[ i
ight] =
egin{cases}
LCM[i-1]*i\%mod, & ext{if $i$ is a prime number, because a new prime come in} \[2ex]
LCM[i-1]*x\%mod, & ext{if $n$ is a POWER of prime number x, because $P_x$ get a high power }\[2ex]
LCM[i-1], & ext{oherwise}
end{cases}
]
- AC代码
#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6+10;
const ll mod = 1e9+7;
ll LCM[maxn];
bool isPrime[maxn];//isPrime[i]表示i是不是质数
int prime[maxn];//prime[i]表示i是哪个质数的k次幂 如果不是某个质数的k次幂就置0
void init(){
for(int i=1; i<maxn; i++) isPrime[i] = 1, prime[i] = 0;
isPrime[1] = 0;
//素数普通筛 只需要筛到根号N即可
for(int i=2; i*i<maxn; i++){
if(isPrime[i]){
///cout<<i<<" ";
for(int j=i*i; j<maxn; j *= i){
prime[j] = i;//j 是 质数i的幂次
}
//筛素数
for(int j=i+i; j<maxn; j += i){
isPrime[j] = 0;
}
}
}
}
//LCM[i]表示(1 , 2 , 3 ......, i)的lcm
void getLCM(){
LCM[1] = 1;
for(int i=2; i<maxn; i++){
//如果是一个新质数
if(isPrime[i]) LCM[i] = LCM[i-1] * i % mod;
//如果不是质数 验证是不是一个质数的幂次
//如果是 那么说明遇到了一个质因子更高的幂次 那么要多乘一个这个质因子
else if(prime[i]) LCM[i] = LCM[i-1] * prime[i] % mod;
else LCM[i] = LCM[i-1];
}
}
//扩展欧几里得求逆元
void extgcd(ll a,ll b,ll& d,ll& x,ll& y){
if(!b){ d=a; x=1; y=0;}
else{ extgcd(b,a%b,d,y,x); y-=x*(a/b); }
}
//返回a在模n意义下的逆元
ll inverse(ll a,ll n){
ll d,x,y;
extgcd(a,n,d,x,y);
return d==1?(x+n)%n:-1;
}
int main(){
int t;
ll n;
init();
getLCM();
cin>>t;
while(t--){
cin>>n;
ll ans = LCM[n+1] * inverse(n+1 , mod) % mod;
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}