[51nod1197]字符串的数量 V2

　　用N个不同的字符（编号1 - N），组成一个字符串，有如下要求：
　　　(1) 对于编号为i的字符，如果2 * i > n，则该字符可以作为结尾字符。如果不作为结尾字符而是中间的字符，则该字符后面可以接任意字符。
　　　(2) 对于编号为i的字符，如果2 * i <= n，则该字符不可以作为结尾字符。作为中间字符，那么后面接的字符编号一定要 >= 2 * i。
　　问有多少长度为M且符合条件的字符串，由于数据很大，只需要输出该数Mod 10^9 + 7的结果。
　　例如：N = 2，M = 3。则abb, bab, bbb是符合条件的字符串，剩下的均为不符合条件的字符串。
　Input
　　输入2个数，N, M中间用空格分割，N为不同字符的数量，M为字符串的长度。(2 <= N <= 10^6, 2 <= M <= 10^18)
　Output
　　输出符合条件的字符串的数量。由于数据很大，只需要输出该数Mod 10^9 + 7的结果。

想半天不会做然后跑去瞄题解。。

首先，一个合法的字符串显然是由若干个合法的“链”组成的。

链的定义就是：从一个字母开始连，后面每个字母编号必须大于等于前一个的2倍，这样尽可能的连接下去。

所谓尽可能连接下去的意思是，链的最后一个字母编号i必须满足2 * i > n ，这样后面不能接东西了，并且只有这样的链才合法。

对于每个合法字符串，划分成合法链的方法是唯一的。

　　那么因为n不大，所以链的最大长度也很小...

　　设f[i][j]表示长度为i的链，链末尾编号为j的方案数。这个可以直接算出来，也就可以得到g[i]表示长度为i的链的所有方案数。

　　设ans[i]表示长度为i的合法字符串数，那么ans[i]=sum{ ans[i-x]*g[x] },1<=x<=链的最大长度。这个直接矩乘。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define ui unsigned int
//#define d double
#define ld long double
const int maxn=1000233,modd=1000000007;
struct mat{int mp[22][22];}a,c;
int f[2][maxn],af[2][maxn];
int i,j,k,n,m,n1,len;

int ra,fh;char rx;
inline int read(){
    rx=getchar(),ra=0,fh=1;
    while(rx<'0'&&rx!='-')rx=getchar();
    if(rx=='-')fh=-1,rx=getchar();
    while(rx>='0')ra=ra*10+rx-48,rx=getchar();return ra*fh;
}

inline void MOD(int &x){if(x>=modd)x-=modd;}

mat operator *(mat a,mat b){
    mat c;register int i,j,k;
    for(i=1;i<=len;i++)for(j=1;j<=len;j++)for(c.mp[i][j]=0,k=1;k<=len;k++)
        c.mp[i][j]=(c.mp[i][j]+1ll*a.mp[i][k]*b.mp[k][j])%modd;
    return c;
}
int main(){ll m;
    n=read(),scanf("%lld",&m);
    for(i=1;(1<<i)<=n;i++);len=i,n1=n>>1;
    
    for(i=n;i;i--)f[0][i]=i>n1,af[0][i]=af[0][i+1]+f[0][i];
    a.mp[1][1]=af[0][1];//printf("  %d
",af[0][1]);
    
    bool now=1,pre=0;int premx=n;
    for(i=2;i<=len;i++,std::swap(now,pre)){
        premx>>=1,af[now][premx+1]=0;
        for(j=premx;j;j--)MOD(af[now][j]=af[now][j+1]+(f[now][j]=af[pre][j<<1]));//,printf("%d %d  f:%d
",i,j,f[now][j]);
        a.mp[1][i]=af[now][1];
    }
    for(i=2;i<=len;i++)a.mp[i][i-1]=1;
    for(i=1;i<=len;i++)c.mp[i][i]=1;
    
    while(m){
        if(m&1)c=c*a;
        if(m>>=1)a=a*a;
    }
    printf("%d
",c.mp[1][1]);
}