省选测试5

省选测试5

T1

​ 一开始，你拥有一个饼干

​ 现在有三种操作

1. 一种是将手里的饼干数量 +1

2. 一种是将手里的 (A) 个饼干换成 1￥

3. 一种是将 1￥换成 (B) 个饼干

   求出在(K)次操作后最多有多少饼干

   (A, B, K <= 1e9);

​ 模拟分情况讨论就好了.

​ 上面的操作可以归为两种 : 一种是花费1来使饼干数量+1; 另一种是花费2使饼干数量+((B-A)), 前提是当前有(A)个饼干.

​ 我们分这两种情况 :

​ (B <= A + 2), 这样的话第二种操作没有第一种操作优, 直接用(K)次第一种操作就好了;

​ (B> A+2), 看一下可以执行多少次第二种操作, 剩下的操作次数执行操作一就好了.

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

inline long long read() {
    long long s = 0, f = 1; char ch;
    while(!isdigit(ch = getchar())) (ch == '-') && (f = -f);
    for(s = ch ^ 48;isdigit(ch = getchar()); s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48));
    return s * f;
}

int k, a, b;

int main() {

    freopen("a.in","r",stdin); freopen("a.out","w",stdout);

    k = read(); a = read(); b = read();
    if(b - a <= 2) printf("%lld
", 1ll + k);
    else {
        if(1 + k <= a + 1) printf("%lld
", 1ll + k);
        else {
            int t = k - (a - 1); 
            int d = t / 2, mo = t % 2;
            long long ans1 = 1ll * d * (b - a) + a + mo;
            long long ans2 = 1ll + k;
            printf("%lld
", max(ans1, ans2));
        } 
    }

    fclose(stdin); fclose(stdout);

    return 0;
}

/*
4 2 6
*/

T2

​ 有 (n) 座城市，一些民族。这些城市之间由 (n-1) 条有边权道路连接形成了以城市 1 为根的有根树。

​ 每个城市都是某一民族的聚居地，已知第 (i) 个城市的民族是 (A_i)，人数是 1。

​ 我们定义一个民族 (x) 的来往程度 (f(x))为民族为 (x) 的点两两之间的距离之和，距离定义为树上两点间最短路距离。

​ 他想知道以 (i) 为根的子树内来往程度最大的民族 (x) 是多少，如果有多个，求编号最小。

​ 以及对于给定的 (k_i)，求 (i) 子树内编号的 (k_i)小民族 (y) 的 (f(y))。

​

​ (n <= 10 ^ 5)

​ 线段树合并.

​ 对于原树上的每一个节点都维护一颗权值线段树, 然后从下往上合并子树, 统计答案.

​ 定义一些数组 :

​ (len[x]) 代表原树上从1到(x)的路径权值.

​ 当前(o)为权值线段树上的叶子节点, 所在的权值为(l) :

​ (siz[o]) 表示以(x)为根的子树内, 民族为(l)的节点个数.

​ (sumlen[o]) 表示以(x)为根的子树内, 民族为(l)的节点的(len)之和.

​ (f[o]) 表示以(x)为根的子树内, 所有民族为(l)的节点的来往度(f(l)).

​ 当前(o)为权值线段树上的非叶子节点 :

​ (Max[o]) 表示以(x)为根的子树内所有民族的最大的来往度.

​ (id[o]) 表示这个最大的来往度的民族的编号.

​ (tag[o])表示以(x)为根的子树内所有民族的种数.

​ 对于询问1, 我们直接维护出(id[rt[x]])就好了, 询问2的话用维护出的(tag)数组在线段树二分就可以了.

#include <bits/stdc++.h>

#define ls(o) t[o].ls
#define rs(o) t[o].rs
#define mid ((l + r) >> 1)

using namespace std;

inline long long read() {
    long long s = 0, f = 1; char ch;
    while(!isdigit(ch = getchar())) (ch == '-') && (f = -f);
    for(s = ch ^ 48;isdigit(ch = getchar()); s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48));
    return s * f;
}

const int N = 1e5 + 5;
int n, cnt, tot, cnt_b;
int a[N], b[N], k[N], rt[N], ans1[N], head[N];
long long len[N], ans2[N];
struct edge { int to, nxt, val; } e[N << 1];
struct tree { int ls, rs, id, siz, tag; long long f, Max, sumlen; } t[N * 100]; 

void add(int x, int y, int z) {
    e[++ cnt].nxt = head[x]; head[x] = cnt; e[cnt].to = y; e[cnt].val = z;
}

void get_tree(int x, int Fa) {
    for(int i = head[x]; i ; i = e[i].nxt) {
        int y = e[i].to; if(y == Fa) continue ;
        len[y] = len[x] + e[i].val; get_tree(y, x);
    }
}

void up(int o) {
    t[o].tag = t[ls(o)].tag + t[rs(o)].tag;
    t[o].Max = max(t[ls(o)].Max, t[rs(o)].Max);
    if(t[o].Max == t[ls(o)].Max && ls(o)) t[o].id = t[ls(o)].id;
    else t[o].id = t[rs(o)].id;
}

void insert(int &o, int l, int r, int x, int i) {
    if(!o) o = ++ tot;
    if(l == r) {
        t[o].siz = t[o].tag = 1; t[o].id = l;
        t[o].sumlen = len[i]; 
        return ;
    }
    if(x <= mid) insert(ls(o), l, mid, x, i);
    if(x > mid) insert(rs(o), mid + 1, r, x, i);
    up(o);
}

int merge(int x, int y, int l, int r, int lca) {
    if(!x || !y) return x + y;
    if(l == r) {
        t[x].f = t[x].f + t[y].f + t[x].sumlen * t[y].siz + t[y].sumlen * t[x].siz - 2ll * t[x].siz * t[y].siz * len[lca];
        t[x].siz += t[y].siz; t[x].tag = 1; t[x].sumlen += t[y].sumlen; t[x].Max = t[x].f; t[x].id = l;
        return x;
    }
    ls(x) = merge(ls(x), ls(y), l, mid, lca);
    rs(x) = merge(rs(x), rs(y), mid + 1, r, lca);
    up(x); return x;
}

long long query(int o, int l, int r, int k) {
    if(l == r) return t[o].Max;
    int res = t[ls(o)].tag;
    if(res >= k) return query(ls(o), l, mid, k);
    else return query(rs(o), mid + 1, r, k - res);
}

void get_ans(int x, int Fa) {
    for(int i = head[x]; i ; i = e[i].nxt) {
        int y = e[i].to; if(y == Fa) continue ;
        get_ans(y, x);
        // cout << x << " " << y << "----------->
";
        rt[x] = merge(rt[x], rt[y], 1, cnt_b, x);
        // cout << x << ":" << t[rt[x]].id << " " << t[rt[x]].Max << "
";
    }
    // cout << x <<":" << t[rt[x]].id << "
";
    ans1[x] = b[t[rt[x]].id];
    if(k[x] > t[rt[x]].tag) ans2[x] = -1;
    else ans2[x] = query(rt[x], 1, cnt_b, k[x]);
}

int main() {

    freopen("b.in","r",stdin); freopen("b.out","w",stdout);

    n = read();
    for(int i = 1, x, y, z;i < n; i++) {
        x = read(); y = read(); z = read();
        add(x, y, z); add(y, x, z);
    }
    for(int i = 1;i <= n; i++) a[i] = b[i] = read();
    sort(b + 1, b + n + 1);
    cnt_b = unique(b + 1, b + n + 1) - b - 1;
    for(int i = 1;i <= n; i++) a[i] = lower_bound(b + 1, b + cnt_b + 1, a[i]) - b;
    for(int i = 1;i <= n; i++) k[i] = read();
    get_tree(1, 0);
    for(int i = 1;i <= n; i++) insert(rt[i], 1, cnt_b, a[i], i);
    get_ans(1, 0);
    for(int i = 1;i <= n; i++) printf("%d %lld
", ans1[i], ans2[i]);


    fclose(stdin); fclose(stdout);

    return 0;
}

/*
10
1 3 5 
1 2 5 
3 6 2 
3 9 1 
2 4 9 
4 5 2 
5 10 1 
6 7 4 
6 8 9 
1 3 2 2 1 1 2 3 1 2 
2 2 2 2 1 1 1 1 1 2
*/

T3

​ 给出(a,b,K), 满足((a,b) = 1), 求解不能被(a*x+b*y,x >= 0, y >= 0)表示出来的第(K)大的数字, 数据保证存在合法解.

​ (a,b<=5e7, K <= 1e18).

​ 乱搞.

​ 首先我们要知道两个定理 :

​ 1.不可以被表示出来的数字最大是(a*b - a - b).

​ 2.不可以被表示出来的数字的个数是((a-1)*(b-1)/2).

    以上两个定理需要$a,b$互质.我不会证.

​ 首先由第二个定理, 我么可以把问题转化成第(K)小, 这样比较好做.

​ 我们考虑按(a)分块, ([1,a])是一块, ([a+1,2a])也是一块......

​ 然后我们考虑每一块内可以被表示出来的数字有多少呢?

while(1ll * (d + 1) * b <= 1ll * i * a) d ++;

​ 我们相当于枚举(b)的个数.(d+1)就是当前块内可以被表示出来的数字的个数, +1是因为端点上有一个(a)的倍数. 注意每一次枚举(i*a), 这个(d)是不会清空的, 因为上一块的(d_1 * b)到了这一块就变成了(a+d_1*b)了, 还是可以被表示出来.

​ 画个图吧 :

​

​ 这样我们可以统计出这些块内有多少个可以被表示出来的数字(别忘了0). 然后我们可以确定出第(K)小的数字最终在那一块里避免, 我们(O(a))的枚举这个块内的数字就好了.

​ 如何判断这个块内那些数字不可以被表示出来呢?

​ 设当前枚举的数字是(c), 那么如果有(i*b equiv c mod a)并且(i<=d), 那么这个(c)就是可以被表示出来的.

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

inline long long read() {
    long long s = 0, f = 1; char ch;
    while(!isdigit(ch = getchar())) (ch == '-') && (f = -f);
    for(s = ch ^ 48;isdigit(ch = getchar()); s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48));
    return s * f;
}

const int N = 5e7 + 5;
int a, b, p, d;
long long k, sum;
bitset <N> vis;  

int main() {

    freopen("c.in","r",stdin); freopen("c.out","w",stdout);

    a = read(); b = read(); k = read();
    k = 1ll * (a - 1) * (b - 1) / 2 - k + 1;
    vis[0] = 1;
    for(int i = 0;i <= b; i++) {
        while(1ll * (d + 1) * b <= 1ll * i * a) d ++, vis[1ll * d * b % a] = 1;
        if(1ll * i * a - sum - d >= k) break ;
        p = i; sum += d + 1;
    }
    // cout << sum << "
";
    k -= 1ll * p * a + 1 - sum;
    // cout << k << " " << p << "
";
    // for(int i = 0;i < a; i++) cout << i << ":" << vis[i] << "
";
    for(int i = 0;i < a; i++) 
        if(!vis[i]) {
            k --; 
            if(!k) printf("%lld
", 1ll * a * p + i);
        } 


    fclose(stdin); fclose(stdout); 

    return 0;
}

/*
6 7 1
*/