位运算

位运算

逻辑运算符

​ \(and\), & 两者都为真才是真，否则都是假

​ \(or\), | 一者为真则为真，两者为假才为假

​ \(xor\) 两者相同则为假，两者不同则为真 (^ 在程序里表示异或运算， 但它是乘方运算)

​ \(a\) \(xor\) \(b\) = \(b\) \(xor\) \(a\); \(a\) \(xor\) \(b\) \(xor\) \(a\) = \(b\);

​ \(not\), ~ 真取反为假，假取反为真

移位运算

左移

​ \(1\) << \(n\) = \(2^n\) ; \(n\) << \(1\) = \(2n\)

算数右移

​ \(n\) >> \(1\) = \(\left\lfloor\frac{n}{2.0}\right\rfloor\)

​ c++中“/”是向“0”取整，“>>”是向下取整。 比如\(\left(-3\right) >> 1 = -2\), \(\left(-3\right) / 2 = -1\)。

逻辑右移

​ 在二进制补码下把数字向右移动，高位补0，低位直接丢掉。

一些骚操作

二进制状态压缩

​ \(n\)为整数， 操作在二进制下。

​ 取\(n\)的第\(k\)位：(\(n\) >> \(k\)) & \(1\);

​ 取\(n\)的\(0\)~\(k - 1\)位：\(n\) & ((\(1\) << \(k\)) - \(1\))

​ \(n\)的第\(k\)位取反： \(n\) \(xor\) (\(1\) << \(k\))

​ \(n\)的第\(k\)位赋值1： \(n\) | (\(1\) << $k $)

​ \(n\)的第\(k\)位赋值0： \(n\) & (~(\(1\) << \(k\)))

成对变换

​ 当\(n\)为偶数时， \(n\) \(xor\) \(1\) = \(n\) + \(1\);

​ 当\(n\)为奇数时 ，\(n\) \(xor\) \(1\) = \(n\) - \(1\)。

这个性质经常会用于图论的存边里。

求平均数

​ \(a\) \(b\) 不大的时候： \(mid\) = (\(a\) + \(b\)) >> \(1\);

​ \(a\) \(b\) 相加爆\(long\) \(long\)时：\(mid\) = (\(a\) & \(b\)) + ((\(a\) \(xor\) \(b\)) >> \(1\));(好像没用过)

​ 为啥呢？它的原理就是相同位加上不同位除以二。

找一个集合只出现一次的数（其它数都是两次）

int single_num(int a[]) {
    int res = a[1];
    for(int i = 2;i <= n; i++) res ^= a[i];
    return res;
}

例题

​ 位运算一般不会单独考，它会用到很多地方，例如线段树，树状数组，dp，图论, 数论等。

​ （所以没有例题啦）咳

​ P4310 绝世好题

​ 题目大意：给定一个长度为\(n\)的数列 \(a_i\)，求 \(a_i\) 的子序列 \(b_i\) 的最长长度 \(k\)，满足 \(b_i\)&\(b_{i - 1}\)$\ne$0，其中 \(2\leq i\leq k\)，& 表示位运算取与。

​ 我们考虑用一个数组\(f\)[\(j\)]表示当前状态下最后一个数为止二进制第\(j\)位满足条件的最长子序列长度，设新加入的数为\(x\)，上一个数为\(y\)，只要\(x\)， \(y\)二进制下有一位都为\(1\)，那么长度就能更新\(max\)(\(f\)[\(j\)] + \(1\))。设更新完的最大长度为\(max\)，那么\(x\)所有为\(1\)的发\(f\)[\(j\)]都可以更新为\(max\)。我们在找一个数的每一位时，可以用刚刚讲的那个\(x\) & (\(1\) << \(j\))。

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

inline int read() {
	int s = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
	while(ch >= '0' && ch <= '9') { s = (s << 1) + (s << 3) + (ch ^ 48); ch = getchar(); }
	return s * f;
}

const int N = 33;
int n, x, ans;
int f[N];

int main() {
	
	n = read();
	for(int k = 1;k <= n; k++) {
		x = read(); int maxn = 0;
		for(int i = 0;i < 32; i++) {
			if(x & (1 << i)) {
				f[i]++; maxn = max(f[i], maxn);
			}
		}
		for(int i = 0;i < 32; i++) {
			if(x & (1 << i)) f[i] = maxn;
		}
	}																					
	for(int i = 0;i < 32; i++) ans = max(ans, f[i]); 
	printf("%d", ans);
	
	
	return 0;
}