数论篇5——数论四大定理

数论四大定理：

• 威尔逊定理
• 欧拉定理
• 孙子定理（中国剩余定理）
• 费马小定理

1.威尔逊定理

在初等数论中，威尔逊定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件。

当且仅当$p$为素数时

$(p-1)!equiv -1(mod p)$

简单点说就是，若$p$为质数，则$p$能被 $(p-1)!+1$ 整除

但是由于阶乘是呈爆炸增长的，其结论对于实际使用不太多。

证明

首先，可以明确

$(p-1)equiv -1(mod p)$

根据同余式的性质，我们只需要证明

$(p-2)!equiv 1(mod p)$

这个式子突然就有点熟悉了，看下逆元的定义

$acdot a^{-1}equiv 1(mod p)$

我们考虑其实就是对于 $1,2,3,...,p−2 $去找模$p$意义下的逆元，而1的逆元就是1，不需要考虑

然后根据

$x^{2}equiv 1(mod p)$

可以解得

$x_{1}=1,x_{2}=p-1$ 

意思就是只有1，$p-1$在模$p$意义下的逆元是自己，然而这两个数已经被我们安排了，然后逆元还有唯一性与互反性。

那么这些数自然是一一对应，所以$(p-2)!equiv 1(mod p)$成立。

2.欧拉定理

 如果$n,a$为正整数，且$n,a$互质，则$a^{varphi(n)}=1(mod n)$

欧拉函数的定义与实现

证明

将1~n中与n互质的数按顺序排布：

$x_{1},x_{2},x_{3}...x_{varphi(n)}$ 

我们考虑这么一些数：

$m_{1}=a*x_{1};m_{2}=a*x_{2};m_{3}=a*x_{3}...m_{varphi(n)}=a*x_{varphi(n)}$

需要两个引理，证明就不详细展开了。

1）这些数中的任意两个都不模n同余

2）这些数除n的余数都与n互质

由1）和2）可知

数$m_{1},m_{2},m_{3}...m_{varphi(n)}$（如果将其次序重新排列）必须相应地同余于$x_{1},x_{2},x_{3}...x_{varphi(n)}$ 

故得出：

$m_{1}*m_{2}*m_{3}...m_{varphi(n)}equiv x_{1}*x_{2}*x_{3}...x_{varphi(n)}(mod n)$

即

$a^{varphi(n)}(x_{1}*x_{2}*x_{3}...x_{varphi(n)})equiv x_{1}*x_{2}*x_{3}...x_{varphi(n)}(mod n)$

即

$K(a^{varphi(n)}-1)equiv 0(mod n) $这里$K=x_{1}*x_{2}*x_{3}...x_{varphi(n)}$

可知

$K(a^{varphi(n)}-1)$

被n整除，但$K$中的因子都与$n$互质，所以$K$与$n$互质。那么

$a^{varphi(n)}-1$

必须能被$n$整除，即

$a^{varphi(n)}-1equiv 0(mod n) $

即

$a^{varphi(n)}equiv 1(mod n) $

得证。

3.费马小定理

能看出来，欧拉定理是费马小定理的推广，所以欧拉定理也叫费马-欧拉定理，就不详细展开了。

顺便一提一下，费马大定理：

当整数$n >2$时，关于$x, y, z$的方程$ x^{n} + y^{n} = z^{n}$没有正整数解。

4.中国剩余定理（孙子定理）

问题描述

　　“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二。问物几何？”

转换成数学语言，就是求解一次同余式组

egin{cases}
xequiv a_1(mod m_1)  \
xequiv a_2(mod m_2)  \
xequiv a_3(mod m_3)  \
... \
xequiv a_n(mod m_n)  \
end{cases}

其中$a_i, m_i$均为正数，模数$m_i$两两互素。

定理

令$M=prod_{i=1}^{n}m_{i}$，即$M$是$m_i$的最小公倍数

$e_i$为$frac{M}{m_i}cdot e_iequiv 1(mod m_i)$的最小非负整数解

则有对于原方程组有唯一解

$x=sum_{i=1}^{k}a_ie_i frac{M}{m_i} (mod M)$

代码实现：

void exgcd(int a, int b, int& x, int& y)
{
    if (b == 0) { x = 1; y = 0; return; }
    exgcd(b, a % b, x, y);
    int temp = x;
    x = y; y = temp - a / b * y;
}

int crt(int* a, int* m, int k)
{
    int res, x, y, M = 1;
    for (int i = 1; i <= k; ++i) M *= m[i];
    for (int i = 1; i <= k; ++i)
    {
        exgcd(M / m[i], m[i], x, y);
        if (x < 0)
            x += m[i];
        res = (res + M / m[i] * x * a[i]) % M;
    }
    return res % M;
}

模板题

https://www.luogu.org/problemnew/solution/P3868

#include <iostream>
#include <fstream>
using namespace std;

typedef long long LL;

LL m[10], a[10], k;
//数据可能会爆long long
LL quick_mult(LL a, LL b, LL M) {
    LL res = 0;
    while (b) {
        if (b & 1)
            res = (res + a) % M;
        a = (a + a) % M;
        b >>= 1;
    }
    return res % M;
}
void ex_gcd(LL a, LL b, LL&x, LL&y) {
    if (b == 0) {
        x = 1; y = 0;
        return;
    }
    ex_gcd(b, a % b, x, y);
    LL temp = x;
    x = y;
    y = temp - a / b * y;
}

LL crt() {
    LL M = 1;
    LL e[10];
    LL except_mi[10];
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        M *= m[i];
    }
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        LL x,y;
        ex_gcd(M / m[i], m[i], x, y);
        if (x < 0)
            x += m[i];
        e[i] = x;

    }

    LL res = 0;
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        (a[i] % m[i] + m[i]) % m[i];//a[i]可能为负数，根据同余性质，取正
        res = res % M + quick_mult(e[i], quick_mult(M / m[i], a[i], M), M);
    }
    return res % M;
}

int main() {
#ifdef LOCAL
    fstream cin("data.in");
#endif // LOCAL
    cin >> k;
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        cin >> a[i];
    }
    for (int i = 0; i < k; i++) {
        cin >> m[i];
    }
    cout << crt();
    return 0;
}