1、引入
最大公约数gcd算法:
辗转相除法
int gcd(int a, int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }
最小公倍数lcm算法:
根据 a*b = gcd(a,b) * lcm(a,b)
有 lcm = a*b / gcd,避免溢出,推荐写成lcm = a / gcd *b
int lcm(int a, int b) { return a / gcd(a, b) * b; }
2、扩展欧几里得算法
算法定义:
算法实现
也就是说,我们得到了一个和gcd算法中,gcd(m,n)=gcd(n,m%n)相似,自底向上的恒等式
举个例子,就是
如果想要x为正值,根据
只再做一步:
if (x < 0) { x += b; y -= a; }
推广的一般情况(k为任意整数):
$$ax+by=ax+by+dfrac {ab}{gcdleft( a,b ight) }-dfrac {ab}{gcdleft( a,b ight) }\egin{cases}x'=x+dfrac {b}{gcd }*k\ y'=y-dfrac {a}{gcd }* kend{cases}$$
完整代码:
int extend_gcd(int a, int b, int& x, int& y) { if (b == 0) { x = 1, y = 0; return a; } int q = extend_gcd(b, a % b, x, y); int temp = x; x = y; y = temp - a / b * y; return q; }
扩展: